Spezielle unitäre Gruppe

Die spezielle unitäre Gruppe SU(N) besteht aus den unitären NxN-Matrizen mit komplexen Einträgen, deren Determinante 1 beträgt. Sie ist eine kompakte, einfache Lie-Gruppe der Dimension N²−1, insbesondere auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Ferner ist sie Untergruppe der unitären Gruppe U(N), sowie der speziellen linearen Gruppe $SL(N,\mathbb{C})$.

Lie-Algebra

Die zu SU(N) korrespondierende Lie-Algebra $\mathfrak{su}(N)$ ergibt sich bei Betrachtung des Tangentialraums am Einselement der Gruppe. Sie besteht aus dem Raum aller schiefhermiteschen Matrizen mit Spur 0. Die surjektive Abbildung

$f: \mathfrak{su}(N) \to SU(N),\quad\quad g\mapsto\exp{g}$

bildet ein Element der Algebra auf die Gruppe ab.

Zentrum

Das Zentrum von SU(N) besteht aus allen Vielfachen ξE_N der Einheitsmatrix E_N, die in SU(N) liegen. Da det(ξE_N) = ξ^N = 1, müssen diese Vielfachen N − te Einheitswurzeln sein. Daher ist das Zentrum isomorph zur Restklassengruppe $\Z/N\Z$.

Bedeutung in der Physik

Die spezielle unitäre Gruppe spielt eine besondere Rolle in der theoretischen Physik, da das derzeitige Standardmodell der Elementarteilchenphysik mehrere SU(N)-Symmetrien aufweist. So ist die interne Symmetriegruppe des Standardmodells durch SU(3)xSU(2)xU(1) gegeben. Darüber hinaus gibt es die näherungsweise gültige SU(3)-Symmetrie zur Klassifikation von Hadronen, die aus up-, down- und strange-Quarks bestehen. Ferner ist der kompakte Anteil der speziellen orthochronen Lorentzgruppe isomorph zu SU(2)xSU(2).

Die Gruppe SU(2) ist zugleich die sog. Doppelgruppe der gewöhnlichen Drehgruppe SO(3) im dreidimensionalen Raum.

Literatur

Lehrbücher

• Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3528064323
• Nicolas Bourbaki: Lie Groups and Lie Algebras, Springer, 2002, ISBN 3540426507
• Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Representations of Compact Lie Groups, Springer, 1995, ISBN 3540136789
• Walter Pfeifer: The Lie Algebras su(N), Birkhäuser, 2003, ISBN 376432418X

Artikel

• Jonathan L. Rosner: An Introduction to Standard Model Physics, TASI 1987, Scanned version from KEK
• Erhard Scholz: Introducing Groups into Quantum Theory (1926–1930), math.HO/0409571

Weblinks

• Definition bei mathworld.wolfram.com (englisch)