Spurklasse-Operator

Die Spurklasse-Operatoren werden in der mathematischen Disziplin der Funktionalanalysis untersucht. Sie bilden eine wichtige Klasse von linearen Operatoren auf unendlich dimensionalen Räumen. Bei ihnen bleiben im Gegensatz zu allgemeinen Operatoren einige Eigenschaften aus dem endlich-dimensionalen Fall erhalten, das betrifft insbesondere ihre Darstellung als Summe eindimensionaler Operatoren. In wichtigen Fällen übertragt sich der aus der linearen Algebra bekannte Begriff der Spur auf diese Operatoren, was zu ihrem Namen geführt hat. In der Quantenmechanik treten die Spurklasse-Operatoren als Dichtematrix auf.

Alexander Grothendieck stieß bei seiner Untersuchung des Satzes vom Kern aus der Distributionentheorie ebenfalls auf Operatoren der hier behandelten Art und nannte sie nukleare Operatoren (lat. nucleus = Kern). Dies führte dann zum Begriff des nuklearen Raums.

Dieser Artikel behandelt die nuklearen Operatoren zunächst auf Hilberträumen, dann allgemeiner auf Banachräumen und schließlich auf lokalkonvexen Räumen.

Motivation

Sei E ein Vektorraum über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen. Ein eindimensionaler Operator $A:E\rightarrow E$ ist ein Operator der Form $A(x):=f(x)\cdot y$ mit $y\in E$ und $f\in E'$. In der linearen Algebra, d.h. im Fall $E={\mathbb K}^n$, kann jede lineare Abbildung $A:E\rightarrow E$ als Matrix (a_i,j)_i,j bzgl. einer Basis $e_1,\ldots e_n$ dargestellt werden. Für $x\in {\mathbb K}^n$ gilt dann

$Ax = (a_{i,j})_{i,j} \cdot \begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n (a_{i,1},\ldots,a_{i,n}) \cdot \begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \cdot e_i$.

A ist also eine Summe eindimensionaler Operatoren. Um das auf unendlich-dimensionale Räume übertragen zu können, muss man unendliche Summen eindimensionaler Operatoren bilden und daher Vorkehrungen für deren Konvergenz treffen. Das führt zu folgender Definition:

Ein Operator $A:E\rightarrow F$ zwischen normierten Räumen heißt nuklear, falls es Folgen (x_n)_n in F und (f_n)_n in $E\,'$ gibt mit $\sum_{n=1}^\infty \|x_n\|\cdot\|f_n\| < \infty$ und $A(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n(x)x_n$ für alle $x\in E$. Eine solche Formel für A heißt eine nukleare Darstellung von A.

Die nukleare Norm $\|A\|_1$ eines nuklearen Operators ist das Infimum aller Ausdrücke $\sum_{n=1}^\infty \|x_n\|\|f_n\|$, wobei die Folgen (x_n)_n in F und (f_n)_n in $E\,'$ alle nuklearen Darstellungen von A durchlaufen.

Beispiele

• Sei $(a_n)_n \in \ell^1$ und sei $A:\ell^p\rightarrow \ell^p$ definiert durch $(x_n)_n\mapsto (a_nx_n)_n$. Dann ist A nuklear mit $\|A\|_1 \le \sum_n |a_n|$. Im Hilbertraumfall p = 2 gilt Gleichheit.
• Sei $k:[0,1]\times [0,1] \rightarrow {\mathbb C}$ stetig $A:L^\infty[0,1]\rightarrow L^\infty[0,1]$ sei definiert durch $(Af)(t) := \int_0^1 k(t,s)f(s)ds$. Dann ist A nuklear mit $\|A\|_1 \le \int_0^1 \sup_t |k(t,s)| ds$.
• Sei $A:\ell^2\rightarrow \ell^2$ definiert durch $(x_n)_n\mapsto (\frac{1}{n}x_n)_n$. Dann ist A ein kompakter Operator, der nicht nuklear ist.

Einfache Eigenschaften

Sei N(E,F) die Menge aller nuklearen Operatoren $E\to F$. Ist F vollständig, so ist N(E,F) mit der nuklearen Norm ein Banachraum. Die Operatoren $E\to F$ mit endlichdimensionalem Bild liegen dicht in N(E,F) und jeder nukleare Operator ist kompakt.

Die nuklearen Operatoren haben die sogenannte Ideal-Eigenschaft: Seien $E,\,F,\,G$ und H normierte Räume, $A:E\to F$ sei nuklear und $B:G\to E$ sowie $C:F\to H$ seien stetige lineare Operatoren. Dann ist auch $CAB:G\to H$ nuklear und es ist $\|CAB\|_1 \le \|C\| \|A\|_1 \|B\|$, wobei $\|\cdot\|$ die Operatornorm sei. Es gilt stets $\|\cdot\| \le \|\cdot\|_1$

Speziell ist N(E): = N(E,E) ein Ideal in der Algebra B(E) der stetigen linearen Operatoren auf E, und N(E) mit der nuklearen Norm ist eine Banachalgebra.

Nukleare Operatoren auf Hilberträumen

Im Hilbertraum E = F = H sind die Verhältnisse besonders einfach. In diesen Räumen sind die nuklearen Operatoren 1946 erstmalig durch Robert Schatten und John von Neumann untersucht worden. Jedes $f_n\in H'$ ist von der Form $f_n(x) = \langle x,y_n\rangle$ mit einem $y_n\in H$. Eine nukleare Darstellung eines Operators $A:H\rightarrow H$ hat daher die Gestalt

$A(x) = \sum_{n=1}^\infty \langle x, y_n\rangle x_n$ mit $x_n, y_n \in H,\,\, \sum_{n=1}^\infty \|x_n\|\|y_n\| < \infty$.

Ist (e_n)_n eine beliebige Orthonormalbasis von H, so konvergiert für jedes $A\in N(H)$

$\sum_n \langle Ae_n,e_n\rangle = \sum_n \langle x_n,y_n\rangle$.

Diese Zahl ist daher unabhängig von der Wahl der Orthonormalbasis und auch unabhängig von der Wahl der nuklearen Darstellung, sie wird die Spur von A genannt und mit Sp(A) bezeichnet. Wegen des englischen Wortes trace für Spur findet man auch häufig die Bezeichnung tr(A).

Ist $A\in N(H)$ selbstadjungiert und ist (λ_n)_n die Folge der mit Vielfachheiten gezählten Eigenwerte von A, so gilt $\|A\|_1 = \sum_n |\lambda_n|, \,\, Sp(A) = \sum_n \lambda_n$. Ist A nicht selbstadjungiert, so ist die Eigenwertfolge (λ_n)_n absolut summierbar und es ist $\sum_n |\lambda_n| \le \|A\|_1$.

Als weitere Charakterisierung kann man zeigen, dass ein Operator $A\in B(H)$ genau dann nuklear ist, wenn er das Produkt zweier Hilbert-Schmidt-Operatoren ist.

N(H) spielt eine zentrale Rolle in der Dualitätstheorie von Operatoren-Algebren. Es bezeichne K(H) die Algebra der kompakten Operatoren auf H. Jedes $A\in N(H)$ definiert durch φ_A(T): = Sp(AT) ein stetiges, lineares Funktional auf K(H). Man kann zeigen, dass $N(H) \rightarrow K(H)\,', A\mapsto \phi_A$ ein isometrischer Isomorphismus ist, wobei N(H) mit der nuklearen Norm und K(H) mit der Operatornorm versehen sei. In diesem Sinne gilt also $K(H)\,'\cong N(H)$. Genauso definiert jedes $T\in B(H)$ durch die Formel ψ_T(A): = Sp(AT) ein stetiges lineares Funktional auf N(H) und man kann wieder zeigen, dass $B(H) \rightarrow N(H)\,', T\mapsto \psi_T$ ein isometrischer Isomorphismus ist, wenn man N(H) mit der nuklearen Norm und B(H) mit der Operatornorm versieht. In diesem Sinne gilt also $N(H)\,'\cong B(H)$. Insbesondere ist also $K(H)'' \cong B(H)$, d.h. die Räume K(H),N(H) und B(H) sind bei unendlich-dimensionalem Hilbertraum nicht reflexiv.

Eine Analogie zu Folgenräumen

Die folgende Aufstellung enthält eine Analogie zwischen Folgenräumen komplexer Zahlen und Operatoren-Algebren auf einem Hilbertraum. Im Sinne dieser Analogie kann man die nuklearen Operatoren als eine nicht-kommutative Version der $\ell^1$-Folgen betrachten, sie ist zumindest eine Merkhilfe.

Folgenraum	Operatoren-Algebra
c00 = Raum der endlichen Folgen	F(H) = Algebra der Operatoren endlichen Ranges
c0 = Raum der Nullfolgen	K(H) = Algebra der kompakten Operatoren
$\ell^1$ = Raum der absolut summierbaren Folgen	N(H) = Algebra der nuklearen Operatoren
$\ell^2$ = Raum der quadratisch summierbaren Folgen	HS(H) = Algebra der Hilbert-Schmidt-Operatoren
$\ell^p$ = Raum der p-fach summierbaren Folgen, $1<p<\infty$	${\mathcal S}_p(H)$ = p-Schatten-Klasse
$\ell^\infty$ = Raum der beschränkten Folgen	B(H) = Algebra aller beschränkten Operatoren
$c_{00} \subset \ell^1 \subset c_0 \subset \ell^\infty$	$F(H) \subset N(H) \subset K(H) \subset B(H)$
c00 liegt dicht in c0 bzgl. der Supremumsnorm $\|\cdot\|_\infty$.	F(H) liegt dicht in K(H) bzgl. der Operatornorm.
c00 liegt dicht in $\ell^1$ bzgl. der Norm $\|\cdot\|_1$.	F(H) liegt dicht in N(H) bzgl. der nuklearen Norm.
$\ell^1$ liegt dicht in c0 bzgl. der Supremumsnorm.	N(H) liegt dicht in K(H) bzgl. der Operatornorm.
c00 ist ein Ideal in c0, $\ell^1$ und in $\ell^\infty$.	F(H) ist ein Ideal K(H), N(H) und in B(H).
$\ell^1$ ist ein Ideal in c0 und in $\ell^\infty$.	N(H) ist ein Ideal in K(H) und in B(H).
c0 ist ein Ideal in $\ell^\infty$.	K(H) ist ein Ideal in B(H).
$(a_n)_n \mapsto \sum_{n=1}^\infty a_n$ ist ein stetiges linearen Funktional auf $\ell^1$.	Die Spur ist ein stetiges lineares Funktional auf N(H).
$(c_0, \|\cdot\|_\infty)' \cong (\ell^1, \|\cdot\|_1)$.	$(K(H),\|\cdot\|)' \cong (N(H), \|\cdot\|_1)$.
$(\ell^1, \|\cdot\|_1)' \cong (\ell^\infty, \|\cdot\|_\infty)$.	$(N(H), \|\cdot\|_1)' \cong (B(H),\|\cdot\|)$.
Eine Folge aus $\ell^\infty$ ist genau dann aus $\ell^1$, wenn sie das Produkt zweier $\ell^2$-Folgen ist.	Eine stetiger linearer Operator ist genau dann nuklear, wenn er das Produkt zweier Hilbert-Schmidt-Operatoren ist.

Nukleare Operatoren auf Banachräumen

Die Untersuchung nuklearer Operatoren auf Banachräumen begann 1951 mit einer Arbeit von A. F. Ruston. Wegen der hier fehlenden Orthonormalbasen sind die Verhältnisse nicht so einfach wie im Hilbertraum-Fall, zudem sind deutlich andere Methoden erforderlich.

Während im Hilbertraum-Fall die Eigenwert-Folge eines nuklearen Operators nach obigen Ausführungen absolut summierbar ist, kann man im Banachraum-Fall nur folgende schwächere Aussage beweisen:

Ist E ein Banachraum und ist (λ_n)_n die Eigenwertfolge eines nuklearen Operators $A\in N(E)$, so gilt $(\lambda_n)_n \in \ell^2$ und $\|(\lambda_n)_n\|_2 \le \|A\|_1$.

Dieses Ergebnis kann man nicht verbessern; R. J. Kaiser und James Ronald Retherford haben zu vorgegebener $\ell^2$-Folge einen nuklearen Operator aus $N(\ell^1\oplus \ell^\infty)$ mit dieser Eigenwertfolge angegeben. Nach einem Satz von Johnson, König, Maurray und Retherford ist ein Banachraum genau dann isomorph zu einem Hilbertraum, wenn die Eigenwertfolge eines jeden nuklearen Operators aus $\ell^1$ ist.

Die Spur eines nuklearen Operators lässt sich nicht für alle Banachräume definieren. Ist eine nukleare Darstellung $A(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n(x)x_n$ eines Operator aus $A\in N(E)$ gegeben, so legt der Hilbertraum-Fall die Definition $Sp(A) = \sum_{n=1}^\infty f_n(x_n)$ nahe. Diese Zahl erweist sich genau dann wohldefiniert, d.h. als unabhängig von der gewählten nuklearen Darstellung, wenn der Banachraum die Approximationseigenschaft hat.

Die im Hilbertraum-Fall vorliegende Dualität verallgemeinert sich wie folgt auf Banachräume E mit Approximationseigenchaft. Jedes $T\in B(E,E'')$ definiert ein stetiges, lineares Funktional ψ_T auf N(E), wobei $\psi_T(A) = \sum_{n=1}^\infty (T(x_n))(f_n)$ wenn $A(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n(x)x_n$ eine nukleare Darstellung von A ist. Die Approximationseigenschaft sichert die Wohldefiniertheit, d.h. die Unabhängigkeit von der Wahl der nuklearen Darstellung. Man kann zeigen, dass $B(E,E'') \rightarrow N(E)\,', T\mapsto \psi_T$ ein isometrischer Isomorphismus ist, wenn man N(E) mit der nuklearen Norm und B(E,E'') mit der Operatornorm versieht. In diesem Sinne ist $N(E)' \cong B(E,E'')$. Ist daher E zusätzlich reflexiv, so hat man $N(E)' \cong B(E)$ wie im Hilbertraum-Fall.

Nukleare Operatoren auf lokalkonvexen Räumen

Alexander Grothendieck hat 1951 mit der Untersuchung nuklearer Operatoren zwischen lokalkonvexen Räumen begonnen. Da man auf lokalkonvexen Räumen keine Norm zur Verfügung hat, muss die Definition wie folgt formuliert werden: Ein linearer Operator $A:E\rightarrow F$ heißt nuklear, falls es eine Darstellung der Art

$A(x) = \sum_{n=1}^\infty \lambda_n f_n(x) y_n$

gibt, wobei

• $(\lambda_n)_n \in \ell^1$,
• (f_n)_n eine gleichstetige Folge im starken Dualraum $E\,'$ ist (d.h. es gibt eine stetige Halbnorm p auf E mit $|f_n(x)| \le p(x)$ für alle $x\in E$),
• (y_n)_n eine beschränkte Folge in F ist.

Da die geforderte Gleichstetigkeit im Banachraum-Fall der Beschränktheit gleichkommt, führt die hier gegebene Definition im Banachraum-Fall auf denselben Begriff des nuklearen Operators wie er oben definiert wurde.

Die Ideal-Eigenschaft verallgemeinert sich auf lokalkonvexe Räume: Ist $A:E\rightarrow F$ nuklear und sind $B:G\rightarrow E$ und $C:F\rightarrow H$ stetige, lineare Operatoren zwischen lokalkonvexen Räumen, so ist auch $CAB:G\rightarrow H$ nuklear. Nukleare Operatoren $A:E\rightarrow F$ sind stetig und, falls F vollständig ist, sogar kompakt. Man kann zeigen, dass es zu jedem nuklearen Operator $A:E\rightarrow F$ einen weiteren nuklearen Operator $\tilde{A}:G\rightarrow H$ zwischen normierten Räumen und stetige lineare Operatoren $B:E\rightarrow G, C:H\rightarrow F$ gibt mit $A = C\tilde{A} B$. Damit kann man das Studium der nuklearen Operatoren zwischen lokalkonvexen Räumen auf den normierten Fall zurückführen.

In der lokalkonvexen Theorie spielen die nuklearen Operatoren eine wichtige Rolle im Zusammenhang mit nuklearen Räumen.

Literatur

• R. Schatten, J. v. Neumann: The Cross Space of Linear Transformations II, Ann. of Math. 47 (1946), 608-630
• A.F. Ruston: On the Fredholm theory of integral equations for operators belonging to the trace class of a general Banach space, Proc. London Math. Soc. (2), 53 (1951), 109-124
• A. Grothendieck: Sur une notion de produit tensoriel topologique d'espaces vectoriels topologiques, et une classe remarquable d'espaces vectoriels liée à cette notion, C. R. Acad. Sci. Paris vol. 233 (1951), 1556-1558
• A. Pietsch: Nukleare lokalkonvexe Räume, Akademie-Verlag (1965)
• A. Pietsch: Eigenvalues and s-Numbers, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (1987)
• R. J. Kaiser, J. R. Retherford: Preassigning eigenvalues and zeros of nuclear operators, Studia Math. 81 (1985), 127-133
• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
• H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces, Springer, 1971
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992
• Dirk Werner: Funktionalanalysis, 2. Auflage, Springer, Berlin Heidelberg New York, 1997, ISBN 3-540-61904-6