Schatten-Klasse

Die Schatten-Klassen, nach Robert Schatten, sind spezielle Algebren von Operatoren, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht werden. Sie haben viele Eigenschaften mit den Folgenräumen $\ell^p$ gemeinsam.

Definition

Ist $T:H\rightarrow G$ ein kompakter linearer Operator zwischen unendlichdimensionalen separablen Hilberträumen, so gibt es eine monoton fallende Folge (s_n)_n reeller Zahlen mit $s_n\rightarrow 0$ und orthonormale Folgen (e_n)_n in H und (f_n)_n in G, so dass

• $\textstyle Tx = \sum_{n=1}^\infty s_n\langle x,e_n\rangle f_n$ für alle $x\in H$ gilt und
• die Operatoren $\textstyle \sum_{n=1}^N s_n\langle\cdot, e_n\rangle f_n$ für $N\to\infty$ in der Operatornorm gegen T konvergieren.

Das ist die sogenannte Schmidt-Darstellung. Die Zahlenfolge (s_n)_n ist im Gegensatz zu den orthonormalen Folgen eindeutig durch T bestimmt. Man schreibt daher s_n(T) für das n-te Folgenglied und nennt diese Zahl auch den n-ten singulären Wert von T. Man kann zeigen, dass die Quadrate dieser Zahlen die monoton fallende Eigenwertfolge des kompakten Operators $T^*T\in L(H)$ bilden.

Für $1\le p < \infty$ ist die p-te Schatten-Klasse kompakter Operatoren von H nach G durch

${\mathcal S}_p(H,G)\, := \,\{T:H\rightarrow G;\, T\,{\rm kompakt},\, (s_n(T))_n \in \ell^p\}$

definiert. Dabei ist $\ell^p$ der Folgenraum der zur p-ten Potenz summierbaren Folgen. Für $T\in {\mathcal S}_p(H,G)$ definiert man die p-Norm des Operators durch die Formel

$\|T\|_p := (\sum_{n=1}^\infty s_n(T)^p)^{\frac{1}{p}}$.

Die p-Norm des Operators ist also genau die $\ell^p$-Norm der zugehörigen Folge der singulären Werte des Operators.

Für den Fall G = H schreibt man abkürzend ${\mathcal S}_p(H) := {\mathcal S}_p(H,H)$. Oftmals nennt man nur diese Räume Schatten-Klassen.

Spezialfälle

Für p = 1 entspricht der Raum ${\mathcal S}_1(H,G)$ der Menge der Spurklasseoperatoren.

Für p = 2 entspricht ${\mathcal S}_2(H,G)$ dem Hilbertraum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Eigenschaften

• Die Schatten-Klassen haben viele Eigenschaften mit den $\ell^p$-Räumen gemeinsam. ${\mathcal S}_p(H)$ ist mit der p-Norm ein Banachraum. Für $p\le q$ gilt $\|\cdot\|_p \ge \|\cdot\|_q$ und daher ${\mathcal S}_p(H)\subset {\mathcal S}_q(H)$. Ferner gilt stets $\|T\| \le \|T\|_p$, wobei $\|T\|$ die Operator-Norm von T ist.

• ${\mathcal S}_p(H)$ ist mit der Operator-Multiplikation sogar eine Banachalgebra mit isometrischer Involution, wobei die Involution die Adjunktion ist. Sind $T\in {\mathcal S}_p(H)$ und $A,B \in L(H)$ stetige lineare Operatoren auf H, so ist $ATB\in {\mathcal S}_p(H)$ und es gilt $\|ATB\|_p \le \|A\| \|T\|_p \|B\|$. Die Schatten-Klassen sind daher zweiseitige Ideale in L(H).

• Seien $1 < p,q < \infty$ mit $\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q} = 1$ konjugierte Zahlen. Sind dann $T\in {\mathcal S}_p(H)$ und $S\in {\mathcal S}_q(H)$, so ist das Produkt TS ein Spurklasse-Operator, und es gilt $Sp(TS) \le \|T\|_p\|S\|_q$. Jedes $S\in {\mathcal S}_q(H)$ definiert daher durch $T\mapsto Sp(TS)$ ein stetiges lineares Funktional ψ_S auf ${\mathcal S}_p(H)$. Man kann zeigen, dass die Abbildung $S\mapsto \psi_S$ ein isometrischer Isomorphismus von ${\mathcal S}_q(H)$ auf den Dualraum von ${\mathcal S}_p(H)$ ist, oder kurz ${\mathcal S}_p(H)\,' \cong {\mathcal S}_q(H)$. Man hat also auch hier ganz ähnliche Verhältnisse wie bei den Folgenräumen. Insbesondere sind die Schatten-Klassen für $1<p<\infty$ reflexiv, sie sind sogar gleichmäßig konvex. Wie bei den Folgenräumen ist dies für ${\mathcal S}_1(H)$ nicht der Fall. Die Verhältnisse für ${\mathcal S}_1(H)$ sind im Artikel Spurklasseoperator näher beschrieben.

Quellen

• R. Schatten: Norm Ideals of Completely Continuous Operators. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Folge, ISBN 3-540-04806-5.
• Dunford, Schwartz: Linear Operators, Part II, Spectral Theory. ISBN 0-471-60847-5.
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8