- Schatten-Klasse
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Die Schatten-Klassen, nach Robert Schatten, sind spezielle Algebren von Operatoren, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht werden. Sie haben viele Eigenschaften mit den Folgenräumen
gemeinsam.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Ist
ein kompakter linearer Operator zwischen unendlichdimensionalen separablen Hilberträumen, so gibt es eine monoton fallende Folge (sn)n reeller Zahlen mit
und orthonormale Folgen (en)n in H und (fn)n in G, so dass
für alle
gilt und
- die Operatoren
für
in der Operatornorm gegen T konvergieren.
Das ist die sogenannte Schmidt-Darstellung. Die Zahlenfolge (sn)n ist im Gegensatz zu den orthonormalen Folgen eindeutig durch T bestimmt. Man schreibt daher sn(T) für das n-te Folgenglied und nennt diese Zahl auch den n-ten singulären Wert von T. Man kann zeigen, dass die Quadrate dieser Zahlen die monoton fallende Eigenwertfolge des kompakten Operators
bilden.
Für
ist die p-te Schatten-Klasse kompakter Operatoren von H nach G durch
definiert. Dabei ist
der Folgenraum der zur p-ten Potenz summierbaren Folgen. Für
definiert man die p-Norm des Operators durch die Formel
.
Die p-Norm des Operators ist also genau die
-Norm der zugehörigen Folge der singulären Werte des Operators.
Für den Fall G = H schreibt man abkürzend
. Oftmals nennt man nur diese Räume Schatten-Klassen.
Spezialfälle
Für p = 1 entspricht der Raum
der Menge der Spurklasseoperatoren.
Für p = 2 entspricht
dem Hilbertraum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.
Eigenschaften
- Die Schatten-Klassen haben viele Eigenschaften mit den
-Räumen gemeinsam.
ist mit der p-Norm ein Banachraum. Für
gilt
und daher
. Ferner gilt stets
, wobei
die Operator-Norm von T ist.
ist mit der Operator-Multiplikation sogar eine Banachalgebra mit isometrischer Involution, wobei die Involution die Adjunktion ist. Sind
und
stetige lineare Operatoren auf H, so ist
und es gilt
. Die Schatten-Klassen sind daher zweiseitige Ideale in L(H).
- Seien
mit
konjugierte Zahlen. Sind dann
und
, so ist das Produkt TS ein Spurklasse-Operator, und es gilt
. Jedes
definiert daher durch
ein stetiges lineares Funktional ψS auf
. Man kann zeigen, dass die Abbildung
ein isometrischer Isomorphismus von
auf den Dualraum von
ist, oder kurz
. Man hat also auch hier ganz ähnliche Verhältnisse wie bei den Folgenräumen. Insbesondere sind die Schatten-Klassen für
reflexiv, sie sind sogar gleichmäßig konvex. Wie bei den Folgenräumen ist dies für
nicht der Fall. Die Verhältnisse für
sind im Artikel Spurklasseoperator näher beschrieben.
Quellen
- R. Schatten: Norm Ideals of Completely Continuous Operators. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Folge, ISBN 3-540-04806-5.
- Dunford, Schwartz: Linear Operators, Part II, Spectral Theory. ISBN 0-471-60847-5.
- R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8
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