Gelfand-Spektrum

Banach-Algebra

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Topologie Abstrakte Algebra Lineare Algebra Funktionalanalysis

ist Spezialfall von

Abelsche Gruppe Ring Topologischer Ring Vektorraum Algebra Topologische Algebra topologischer Raum topologischer Vektorraum Banach-Raum

umfasst als Spezialfälle

C*-Algebra von-Neumann-Algebra Schatten-Klasse Spurklasse, Hilbert-Schmidt-Klasse Gruppenalgebra L1(G)

Banachalgebren (nach Stefan Banach) sind mathematische Objekte der Funktionalanalysis, die einige bekannte Funktionenräume anhand wesentlicher gemeinsamer Eigenschaften verallgemeinern (z. B. Mengen stetiger oder integrierbarer Funktionen).

Eine Banachalgebra ist ein Vektorraum, in dem zusätzlich auch eine Multiplikation und eine Norm so definiert sind, dass gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind.

Definition

Ein Vektorraum (V,+)

über dem Körper $\Bbb K = \R$ oder $\mathbb{C}$

mit einer Norm $\left\| \cdot \right\|$

und einem Produkt $\circ : V \times V \to V$

ist eine Banachalgebra, wenn gilt:

• $( V,+, \left\| \cdot \right\| )$ ist ein Banachraum, also ein vollständiger normierter Vektorraum,
• $( V,+, \circ )$ ist eine assoziative $\Bbb K$-Algebra,
• $\|A \circ B\| \le \|A\|\cdot\|B\|$, d. h. die Norm ist submultiplikativ.

Wie auch in der Algebra allgemein üblich wird das Symbol für das Produkt gern weggelassen. Nur im Falle der Faltung wird oft das Symbol * oder $\star$ verwendet.

Banach-*-Algebra oder involutive Banachalgebra

Definition: Eine Banach-*-Algebra $\mathcal{A}$ (über $\mathbb{C}$) ist eine Banachalgebra zusammen mit einer *-Involution $*:\mathcal{A}\to\mathcal{A},\, a\mapsto a^*$, so dass

• $\forall a\in \mathcal{A}:(a^*)^*=a$ (involutiv)
• $\forall a,b\in \mathcal{A}:(ab)^*=b^* a^*$ (anti-multiplikativ)
• $\forall a,b\in\mathcal{A}\forall z,w\in \mathbb{C}:(za+wb)^*=\bar z a^* +\bar w b^*$ (semilinear, anti-linear oder konjugiert linear)
• $\forall a\in\mathcal{A}:\|a\|=\|a^*\|$ (isometrisch)

C*-Algebra

Die Banachalgebra B(H) (H ein Hilbertraum) motiviert die folgende Definition: Eine Banachalgebra V, auf der zusätzlich eine semilineare Involution $*:V \to V$ gegeben ist, heißt C*-Algebra, wenn gilt:

• $\|x^*x\| = \|x\|^2$ für alle $x \in V$

Von-Neumann-Algebren sind spezielle C*-Algebren.

Beispiele

• Jeder Banachraum wird mit der Null-Multiplikation, d.h. xy=0 für alle Elemente x,y des Banachraums, zu einer Banachalgebra.

• Sei K ein kompakter Raum und ${\mathcal C}(K)$ der Raum der stetigen Funktionen $f:K\rightarrow {\mathbb C}$. Mit den punktweise Operationen und der durch $f^*(x) := \overline{f(x)}$ (komplexe Konjugation) definierten Involution und der Supremumsnorm $\|f\| := \sup_{x\in K}|f(x)|$ wird ${\mathcal C}(K)$ zu einer kommutativen C^*-Algebra.

• Sei D der Einheitkreis in ${\mathbb C}$. Es sei A(D) die Algebra mit stetigen Funktionen $f:D\rightarrow {\mathbb C}$, die im Inneren von D holomorph sind. Mit den punktweise Operationen und der durch $f^*(x) := \overline{f(\overline{z})}$ (komplexe Konjugation) definierten Involution und der Supremumsnorm wird A(D) zu einer kommutativen Banach-*-Algebra, die keine C^*-Algebra ist.

• Ist V ein Banachraum, so ist die Algebra B(V) der stetigen, linearen Operatoren auf V eine Banachalgebra, die im Falle dim(v) > 1 nicht kommutativ ist. Ist V ein Hilbertraum, so ist B(V) eine C^*-Algebra.

• Die Spurklasse und die Hilbert-Schmidt-Klasse, oder allgemeiner die Schatten-Klassen, sind Beispiele für nicht-kommutative Banach-*-Algebren, die keine C^*-Algebren sind.

• In der harmonischen Analyse werden die Banach-*-Algebren L¹(G), d.h. die Faltungsalgebren über einer lokalkompakten Gruppe G betrachtet.

Grundlagen

Es werden einige Grundlagen der Theorie der Banachalgebren besprochen, die ein Zusammenspiel zwischen algebraischen und topologischen Eigenschaften zeigen.

Das Einselement

Viele der oben genannten Beispiele sind Banachalgebren ohne ein Einselement. Wird dennoch ein Einselement benötigt, so kann man eines adjungieren. In vielen Fällen gibt es in diesen Banachalgebren Approximationen der Eins; dies ist ein topologisches Konstrukt, das oft einen Ersatz für das fehlende Einselement darstellt. Das gilt insbesondere für C*-Algebren und die Gruppenalgebren L¹(G).

Die Gruppe der invertierbaren Elemente

Ist A eine Banachalgebra mit Einselement 1, so ist die Gruppe A ^{− 1} der invertierbaren Elemente offen. Ist nämlich $b\in A$ invertierbar und $a\in A$ mit $\|a-b\| < \frac{1}{\|b^{-1}\|}$, so ist auch a invertierbar, denn leicht überlegt man sich, dass $b^{-1}\sum_{n=0}^\infty (b^{-1}(b-a))^n$ konvergiert und das Inverse zu a ist. Ferner ist das Invertieren $a\mapsto a^{-1}$ als Abbildung auf der Gruppe der invertierbaren Elemente stetig. Daher ist A ^{− 1} eine topologische Gruppe.

Das Spektrum

In der linearen Algebra spielt die Menge der Eigenwerte einer Matrix eine wichtige Rolle bei der Untersuchung der Matrizen, d.h. der Elemente der Banachalgebra $B({\mathbb K}^n)$. Dies verallgemeinert sich zum Begriff des Spektrums:

Sei A eine $\mathbb C$-Banachalgebra mit Einselement. Für $a\in A$ ist das Spektrum von a, $\sigma(a):=\{\lambda \in {\mathbb C}: a-\lambda\cdot 1 \notin A^{-1}\}$, kompakt und nach dem Satz von Gelfand-Mazur nicht leer. Für den Spektralradius $r(a) := \sup \{|\lambda|;\, \lambda \in \sigma(a)\}$ gilt die Formel $r(a) = \lim_{n\to\infty}\|a^n\|^{1/n}$. Diese Formel ist insofern erstaunlich, als dass der Spektralradius eine rein algebraische Größe ist, die lediglich den Begriff der Invertierbarkeit verwendet. Die rechte Seite der Spektralradiusformel hingegen ist durch die Norm der Banachalgebra gegeben.

Die Menge X_A aller multiplikativen Funktionale $A\rightarrow {\mathbb C}$ bezeichnet man als das Spektrum (Gelfand-Spektrum) oder als den Gelfand-Raum von A. Das Spektrum von A ist ein kompakter Raum und die Gelfand-Transformation vermittelt einen Homomorphismus $A\rightarrow C(X_A)$ von A in die Banachalgebra der stetigen komplexwertigen Funktionen auf X_A. Jedem Element $a\in A$ wird so eine stetige Funktion $\hat{a}:X_A\rightarrow {\mathbb C}$ zugeordnet, wobei $\hat{a}(\varphi) = \varphi(a)$. Das Spektrum eines Elementes $a\in A$ und das Spektrum der Algebra hängen dann über die Formel $\sigma(a) = \hat{a}(X_A)$ zusammen. Das ist im Artikel über die Gelfand-Transformation ausgeführt.

Maximale Ideale

Sei A eine kommutative $\mathbb C$-Banachalgebra mit Einselement. Ist $\varphi \in X_A$, so ist $\ker (\phi) \subset A$ ein maximales Ideal (mit Kodimension 1). Ist umgekehrt $M\subset A$ ein maximales Ideal, so ist der Abschluss $\overline{M}$ wegen der Offenheit der Gruppe der invertierbaren Elemente ein echtes Ideal, also muss $\overline{M} = M$ gelten. Dann ist die Quotientenalgebra A / M eine Banachalgebra, die ein Körper ist, und dieser muss nach dem Satz von Gelfand-Mazur isomorph zu $\mathbb C$ sein. Daher ist die Quotientenabbildung $A\rightarrow A/M \cong {\mathbb C}$ ein multiplikatives Funktional mit Kern M. Bezeichnet man also die Menge der maximalen Ideale mit Max(A), so hat man eine bijektive Abbildung:

$X_A \rightarrow {\rm Max}(A),\,\,\,\varphi \mapsto \ker(\varphi)$

Es besteht damit eine bijektive Beziehung zwischen der Teilmenge X_A des Dualraums und der rein algebraisch definierten Menge der maximalen Ideale.

Anwendungen

• Anwendung finden Banachalgebren u. a. in der Operatorentheorie, wie sie z. B. in der Quantenfeldtheorie benutzt wird.
• Ferner gibt es die Erweiterung zu von-Neumann-Algebren und Hilbert-Moduln und der abstrakten K- und KK-Theorie, welche auch als nichtkommutative Geometrie bezeichnet wird.
• Zur Untersuchung lokalkompakter Gruppen zieht man in der harmonischen Analyse die Banachalgebren L¹(G) heran.

Literatur

• R.V. Kadison, J. R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I + II, 1983
• M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I (Springer 1979, 2002)