- Hilbert-Schmidt-Operator
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In der Mathematik ist ein Hilbert-Schmidt-Operator (nach David Hilbert und Erhard Schmidt) ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbertraum, für den eine gewisse Zahl, die sogenannte Hilbert-Schmidt-Norm, endlich ist. Die Hilbert-Schmidt-Klasse, d. h. die Menge all dieser Operatoren, bildet mit der Hilbert-Schmidt-Norm eine Banachalgebra, die gleichzeitig ein Hilbertraum ist. Hilbert-Schmidt-Operatoren können durch unendlich-dimensionale Matrizen charakterisiert werden.
Inhaltsverzeichnis
Motivation
Seien (ei)i und (fi)i zwei Orthonormalbasen im Hilbertraum H. A sei ein stetiger linearer Operator auf H. Dann gilt
.
Indem man zwei gleiche Orthonormalbasen,
, verwendet, zeigt diese Rechnung, dass die linke Seite unverändert bleibt, wenn man A durch A * ersetzt. Das gilt dann auch für die rechte Seite. Ersetzt man dort A durch A * bei unterschiedlichen Orthonormalbasen und beachtet A * * = A, so erkennt man, dass die Größe
unabhängig von der gewählten Orthonormalbasis ist. Ist diese Größe endlich, so heißt A ein Hilbert-Schmidt-Operator und
ist seine Hilbert-Schmidt-Norm. Statt
findet man auch die Schreibweise
.
Die Hilbert-Schmidt-Klasse, das heißt die Menge aller Hilbert-Schmidt-Operatoren auf H, ist hinsichtlich der algebraischen Operationen Addition, Multiplikation oder Adjunktion abgeschlossen. Sie ist also eine Algebra und wird mit HS(H) bezeichnet.
Ein Operator
zwischen zwei Hilberträumen heißt Hilbert-Schmidt-Operator, wenn
für eine Orthonormalbasis (ei)i von H1 endlich ist. Ähnlich wie oben überlegt man sich, dass diese Zahl von der speziellen Wahl der Orthonormalbasis unabhängig ist, und bezeichnet die Wurzel aus dieser Zahl ebenfalls mit
.
Unendliche Matrizen
Legt man eine Orthonormalbasis fest, so kann man jeden stetigen linearen Operator auf H als unendliche Matrix (ai,j)i,j mit
auffassen. A ist durch diese Matrix und die gewählte Orthonormalbasis eindeutig bestimmt, denn Aei wird auf
abgebildet. Es gilt
. Daher sind die Hilbert-Schmidt-Operatoren genau diejenigen stetigen, linearen Operatoren, deren Matrixkoeffizienten quadratisch summierbar sind. Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung ergibt sich die Submultiplikativität der Hilbert-Schmidt-Norm, das heißt
. Die Hilbert-Schmidt-Norm verallgemeinert daher die Frobeniusnorm auf den Fall unendlich-dimensionaler Hilberträume.
Integraloperatoren
Viele fredholmsche Integraloperatoren sind Hilbert-Schmidt-Operatoren. Sei nämlich
ein beschränkter Operator von L2([0,1]) nach L2([0,1]), dann kann gezeigt werden, dass T genau dann ein Hilbert-Schmidt-Operator ist, wenn es einen Integralkern
gibt mit
fast überall. In diesem Fall stimmen die Hilbert-Schmidt-Norm von T und die L2-Norm von k überein, es gilt also
Eine analoge Aussage gilt auch für beliebige Maßräume anstatt des Einheitsintervalls.
HS(H) als Hilbertraum
Das Produkt zweier Hilbert-Schmidt-Operatoren ist stets ein Spurklasse-Operator. Sind A und B zwei Hilbert-Schmidt-Operatoren, so ist daher durch
ein Skalarprodukt auf dem Raum der Hilbert-Schmidt-Operatoren definiert. HS(H) wird mit diesem Skalarprodukt ein Hilbertraum und es ist
, d.h. die Hilbert-Schmidt-Norm ist eine Hilbertraumnorm.
HS(H) als Banachalgebra
Die Operatoren-Algebra HS(H) ist mit der Hilbert-Schmidt-Norm nicht nur ein Hilbertraum, sondern wegen der Ungleichung
gleichzeitig eine Banachalgebra. HS(H) ist ein zweiseitiges Ideal in der Algebra B(H) aller stetigen, linearen Operatoren auf H, und es gilt
für alle
,
. Jeder Hilbert-Schmidt-Operator ist ein kompakter Operator. Daher ist HS(H) auch ein zweiseitiges Ideal in der C*-Algebra K(H) der kompakten Operatoren auf H, HS(H) liegt dabei dicht in K(H) bzgl. der Operatornorm. Die Spurklasse N(H) ist als zweiseitiges, dichtes Ideal in HS(H) enthalten. Man hat daher die Inklusionen
.
Außer {0} und sich selbst enthält HS(H) keine weiteren
-abgeschlossenen zweiseitigen Ideale. Die Algebra der Hilbert-Schmidt-Operatoren ist in diesem Sinne einfach, sie bildet den Grundbaustein der Strukturtheorie der H*-Algebren.
Literatur
- R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983
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