Stern-Dreieck-Umwandlung

Die Stern-Dreieck-Transformation oder Dreieck-Stern-Transformation, auch Kennelly-Theorem (im englischen Delta-Star-Transformation) ist in der Elektrotechnik eine schaltungstechnische Umformung von jeweils drei elektrischen Widerständen die der Schaltungsanalyse von Widerstandsnetzwerken dient. Die Stern-Dreieck-Transformation ist ein Spezialfall der Stern-Polygon-Transformation.

Allgemeines

Stern-Dreieck-Transformation von Widerständen

Zur Verdeutlichung soll nebenstehende Abbildung dienen: Bei der Stern-Dreieck-Transformation wird die sternförmige (star) rechte Anordnung der Widerstände in eine dreieckförmigen (delta) Widerstandsanordnung, links abgebildet, umgeformt. Die Dreieck-Stern-Transformation ist das Gegenstück dazu und ermöglicht die umgekehrte Umformung. Die elektrischen Anschlusswerte an den eingezeichneten Klemmen a, b und c bleiben dabei exakt gleich. Es werden bei dieser Transformation nur die drei Widerstandswerte durch geeignete Ersatzwerte für die neue Schaltungsanordnung ausgetauscht.

Durch entsprechende Anwendung dieser beiden Transformationen und den Regeln für Parallelschaltung und Reihenschaltung von Widerständen können im Rahmen der Schaltungsanalyse vereinfachte Ersatzwiderstände komplizierter Widerstandsnetzwerke gebildet werden.

Transformationsregeln

Zur Dreieck-Stern-Transformation sind zur Bestimmung der Ersatzwiderstände folgende Berechnungen notwendig:

$R_a = \left( \frac{R_{ac}R_{ab}}{R_{ac} + R_{ab} + R_{bc}} \right)$

$R_b = \left( \frac{R_{ab}R_{bc}}{R_{ac} + R_{ab} + R_{bc}} \right)$

$R_c = \left( \frac{R_{ac}R_{bc}}{R_{ac} + R_{ab} + R_{bc}} \right)$

Für die umgekehrte Stern-Dreieck-Transformation sind zur Bestimmung der Ersatzwiderstände folgende Berechnungen notwendig:

$R_{ac} = \left( \frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_b} \right)$

$R_{ab} = \left( \frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_c} \right)$

$R_{bc} = \left( \frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_a} \right)$

Herleitung der Transformationsregeln

Um zu verstehen, warum die Stern-Dreieck-Transformation funktioniert, ist es ratsam, die Herleitung der Transformationsregeln zu betrachten.

Für unsere Zwecke ist es wichtig, dass das Klemmenverhalten zwischen den jeweiligen Klemmen (a-b, b-c, a-c) nach der Transformation sich nicht verändert.

$\frac{U_{dab}}{I_{dab}} = \frac{U_{sab}}{I_{sab}}$

U_sab ist die Spannung an den Klemmen a-b im Stern und U_dab im Dreieck. Analog dazu gelten natürlich auch die übrigen Klemmen b-c und a-c.

Betrachtet man nun die Skizze der Dreiecks- bzw. Sternschaltung, kann man mit den Regeln der Reihenschaltung und Parallelschaltung die Widerstände zwischen den Klemmen bestimmen.

$\tilde{R}_{ab} = \frac{1}{\frac{1}{R_{ab}}+\frac{1}{R_{ac}+R_{bc}}}$

Bringt man den Doppelbruch auf den gleichen Nenner, kommt man auf folgende Gleichung:

$\tilde{R}_{ab} = \frac{R_{ab}R_{ac} + R_{ab}R_{bc}}{R_{ab}+R_{ac}+R_{bc}}$

Das gleiche wird auch mit der Sternschaltung gemacht:

$\tilde{R}_{ab} = R_a + R_b$

und mit der Dreiecksschaltung gleichgesetzt.

$\frac{R_{ab}R_{ac} + R_{ab}R_{bc}}{R_{ab}+R_{ac}+R_{bc}} = R_a + R_b$

Wiederholt man diese Schritte für die Klemmen b-c und a-c, so erhält man folgende beide Formeln:

$\frac{R_{ac}R_{ab} + R_{ac}R_{bc}}{R_{ab}+R_{ac}+R_{bc}} = R_a + R_c$

$\frac{R_{bc}R_{ab} + R_{bc}R_{ac}}{R_{ab}+R_{ac}+R_{bc}} = R_b + R_c$

Löst man dieses Gleichungssystem nach R_a, R_b und R_c auf, erhält man die oben erwähnten Transformationsregeln.

Merkhilfe Vor- und Rücktransformation

Es gibt eine leichte Merk-Regel für die Vor- bzw. Rücktransformation:

$\begin{align} & \text{Dreieck-Stern-Transformation wird f }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r }\Delta \to \text{Y} \\ & \text{Z}_{30}\text{ = }\frac{\text{Z}_{13}\text{* Z}_{23}}{Z_{12}+Z_{23}+Z_{13}}=\frac{\text{Produkt der Anliegerwiderst }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ nde}}{\text{Maschenumlaufwiderstand}} \\ & \\ & \text{Stern-Dreieck-Transformation wird f }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r Y}\to \Delta \\ & Y_{13}=\frac{Y_{10}*Y_{30}}{Y_{10}+Y_{20}+Y_{30}}=\frac{\text{Produkt der Anliegerleitwerte}}{\text{Knotenleitwert}} \\ \end{align}$

Anwendung in der Wechselstromrechnung

Die Stern-Dreieck-Transformation kann auch in der komplexen Wechselstromrechnung angewendet werden, solange die verwendeten Bauteile wie Kapazitäten, Induktivitäten und Widerstände lineares Verhalten aufweisen. Dabei werden statt der rein ohmschen Widerstände R die komplexen Impedanzen Z in den Gleichungen eingesetzt. Die Transformation erfolgt analog.

Literatur

• Dieter Nührmann: Das große Werkbuch Elektronik. 6. Auflage. Band 1, Franzis-Verlag, 1994, ISBN 3-7723-6546-9, S. 389.