Sturm-Liouville-Operator

Sturm-Liouville-Operator

In der Analysis handelt es sich bei dem Sturm-Liouville-Problem (nach Joseph Liouville und Charles-François Sturm) um ein spezielles Randwertproblem, welches mit Methoden der Variationsrechnung behandelt werden kann. Dadurch ist es möglich, die Lösungen mittels eines linearen Integraloperators darzustellen, der eine Greensche Funktion des Problems als Kern hat.

Differentialgleichungen der Form

L \psi = -A \cdot \psi'' - B \cdot \psi' + C \cdot \psi = \lambda \cdot \psi

sind dem verallgemeinerten Eigenwertproblem

 w L \psi = -\left( p \cdot \psi' \right)' + q \cdot \psi = \lambda \cdot w \cdot \psi

äquivalent, worin p = w \cdot A,\; q = w \cdot C gesetzt ist und w(x) eine exponentielle Gewichtsfunktion ist, d.h. auf dem Definitionsintervall streng positiv ist.

lineare Operatoren der Form

 L = -\frac{d}{dx} \, p\, \frac{d}{dx} +w

werden Sturm-Liouville-Operatoren genannt.

Inhaltsverzeichnis

Reguläre Sturm-Liouville-Probleme

Die Eigenwertgleichung

L \psi = -(p \cdot \psi')' + q \cdot \psi = \lambda \cdot w \cdot \psi

mit glatten reellen Funktionen p(x),q(x),w(x) zusammen mit Randbedingungen der Form

\alpha_1 \cdot \psi(a) + \alpha_2 \cdot \psi'(a) = 0,\quad \beta_1 \cdot \psi(b) + \beta_2 \cdot \psi'(b) = 0

(mit \alpha_i, \beta_i \in \mathbb{R}, |\alpha_1|+|\alpha_2| \neq 0,\; |\beta_1|+|\beta_2| \neq 0) nennt man ein „reguläres Sturm-Liouville-Problem“ über dem Intervall [a,b], wenn dieses Intervall endlich ist und

p(x)\!>\!0\ \forall\ x \in [a,b] \quad \mathrm{sowie} \quad w(x)\!>\!0\ \forall\ x \in [a,b]

gilt.

Singuläre Sturm-Liouville-Probleme

Ist das Intervall unendlich oder gilt

p(x)\!>\!0\ \forall\ x \in (a,b) \mathrm{und}\; p(a)=0 \; \mathrm{und/oder} \; p(b)=0

oder verschwindet das Gewicht w(x) an einigen Punkten oder ersetzt man eine oder beide der Randbedingungen durch

\lim_{x \to a,\; x>a}\psi(x)\; \mathrm{existiert}\quad \mathrm{bzw.}\quad \lim_{x\to b,\; x<b}\psi(x)\; \mathrm{existiert}

(oder einer ähnlichen Bedingung), so spricht man von einem „singulären Sturm-Liouville-Problem“.

Eigenschaften und Anwendungen

siehe Kai Gehrs, Sturm-Liouville-Probleme

Literatur

Weidmann, Joachim: Lineare Operatoren in Hilberträumen / Teil 2. Anwendungen. 1. Aufl. Auflage. Teubner, Stuttgart; Leipzig; Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-02237-0. 


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Sturm-Liouville theory — In mathematics and its applications, a classical Sturm Liouville equation, named after Jacques Charles François Sturm (1803 1855) and Joseph Liouville (1809 1882), is a real second order linear differential equation of the formwhere y is a… …   Wikipedia

  • Sturm-Liouville-Problem — Ein klassisches Sturm Liouville Problem (nach Joseph Liouville und Charles François Sturm) ist folgendes Eigenwertproblem aus der Analysis: Finde alle komplexen Zahlen λ, für die die Differentialgleichung auf dem Intervall (a,b) eine Lösung… …   Deutsch Wikipedia

  • Sturm-Liouville-Randwertproblem — In der Analysis handelt es sich bei dem Sturm Liouville Problem (nach Joseph Liouville und Charles François Sturm) um ein spezielles Randwertproblem, welches mit Methoden der Variationsrechnung behandelt werden kann. Dadurch ist es möglich, die… …   Deutsch Wikipedia

  • Sturm-Liouville-Theorie — In der Analysis handelt es sich bei dem Sturm Liouville Problem (nach Joseph Liouville und Charles François Sturm) um ein spezielles Randwertproblem, welches mit Methoden der Variationsrechnung behandelt werden kann. Dadurch ist es möglich, die… …   Deutsch Wikipedia

  • Sturm (Begriffsklärung) — Sturm bezeichnet: Sturm, ein sehr starker Wind die österreichische Bezeichnung für einen teilvergorenen Traubenmost, siehe Federweißer militärisch einen Sturmangriff Sturm (Jünger), eine Erzählung von Ernst Jünger im Sport den Stürmer im Fußball …   Deutsch Wikipedia

  • Der Sturm — Sturm bezeichnet: Sturm, ein sehr starker Wind en teilvergorenen Traubenmost, siehe Weinbau in Österreich militärisch ein Angriff Sturm (Jünger), eine Erzählung von Ernst Jünger im Sport den Stürmer im Fußball, siehe Stürmer (Fußball) im… …   Deutsch Wikipedia

  • Sturm-Liouvillesche Differentialgleichung — In der Analysis handelt es sich bei dem Sturm Liouville Problem (nach Joseph Liouville und Charles François Sturm) um ein spezielles Randwertproblem, welches mit Methoden der Variationsrechnung behandelt werden kann. Dadurch ist es möglich, die… …   Deutsch Wikipedia

  • Differential operator — In mathematics, a differential operator is an operator defined as a function of the differentiation operator. It is helpful, as a matter of notation first, to consider differentiation as an abstract operation, accepting a function and returning… …   Wikipedia

  • Green's function — In mathematics, Green s function is a type of function used to solve inhomogeneous differential equations subject to boundary conditions. The term is used in physics, specifically in quantum field theory and statistical field theory, to refer to… …   Wikipedia

  • Dym equation — In mathematics, and in particular in the theory of solitons, the Dym equation (HD) is the third order partial differential equation It is often written in the equivalent form The Dym equation first appeared in Kruskal [1] and is attributed to an… …   Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”