- Surjektion
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Surjektivität (surjektiv) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion.
Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild hat.
In der Sprache der Relationen ist der entsprechende Begriff rechtstotal.
Eine surjektive Funktion wird auch als Surjektion bezeichnet.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Es seien X und Y Mengen, sowie
eine Abbildung.
f heißt surjektiv, wenn für alle y aus Y mindestens ein x aus X mit f(x) = y existiert.
Formal:
Grafische Veranschaulichungen
Beispiele und Gegenbeispiele
- Die Funktion
mit f(x) = 2x + 1 ist surjektiv, denn für jede reelle Zahl y gibt es ein Urbild. Aus der Gleichung y = 2x + 1 erhält man nämlich durch Äquivalenzumformung die Gleichung x = (y − 1) / 2, womit sich für jedes y ein Urbild x berechnen lässt.
- Die Sinus-Funktion
ist surjektiv. Jede horizontale Gerade y = c mit
hat unendlich viele Schnittpunkte mit dem Graphen der Funktion.
- Die Sinus-Funktion
ist jedoch nicht surjektiv, da z. B. die Gerade y = 2 keinen Schnittpunkt mit dem Graphen hat, der Wert 2 also nicht als Funktionswert angenommen wird.
bezeichne die Menge der komplexen Zahlen.
ist nicht surjektiv.
ist surjektiv.
Eigenschaften
- Man beachte, dass die Surjektivität einer Funktion
nicht nur vom Funktionsgraphen
, sondern auch von der Zielmenge B abhängt (im Gegensatz zur Injektivität, welche man am Funktionsgraphen ablesen kann).
- Sind die Funktionen
und
surjektiv, dann gilt dies auch für die Komposition (Verkettung)
.
- Aus der Surjektivität von
folgt, dass g surjektiv ist.
- Eine Funktion
ist genau dann surjektiv, wenn f eine rechte Inverse hat, also eine Funktion
mit
(wobei
die identische Abbildung auf B bezeichnet). Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom der Mengenlehre.
- Eine Funktion
ist genau dann surjektiv, wenn f rechts kürzbar ist, also für beliebige Funktionen
mit
schon g = h folgt.
- Jede beliebige Funktion
ist darstellbar als Verkettung
, wobei g surjektiv und h injektiv ist.
hat dabei die Bildmenge von f als Zielmenge und stimmt ansonsten mit f überein (hat denselben Funktionsgraphen).
Mächtigkeiten von Mengen
Für eine endliche Menge A ist die Mächtigkeit | A | einfach die Anzahl der Elemente von A. Ist nun
eine surjektive Funktion zwischen endlichen Mengen, dann kann B höchstens so viele Elemente wie A haben, es gilt also
.
Für unendliche Mengen wird der Größenvergleich von Mächtigkeiten zwar mit Hilfe des Begriffs Injektion definiert, aber auch hier gilt: Ist
surjektiv, dann ist die Mächtigkeit von B kleiner oder gleich der Mächtigkeit von A, ebenfalls geschrieben als
.
Siehe auch
Weblinks
- Die Funktion
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