Urbild (Mathematik)

Das Urbild des Elementes 0 bzw. der einelementigen Teilmenge $\{0\} \subseteq B$ ist die Menge $\{2,3,5\} \subseteq A$

In der Mathematik ist das Urbild ein Begriff im Zusammenhang mit Funktionen. Das Urbild einer Menge M unter einer Funktion f ist die Menge der Elemente, die in f eingesetzt, ein Element aus M ergeben. Ist also y aus M und f(x) = y, dann ist x Element des Urbildes von M unter f. Speziell besteht das Urbild eines Elements y der Zielmenge aus allen Elementen des Definitionsbereichs, die durch f auf y abgebildet werden. Damit ist das Urbild eine Teilmenge des Definitionsbereichs.

Definition

Sei $f\colon A \to B$ eine Funktion und M eine Teilmenge von B. Dann bezeichnet man folgende Menge als das Urbild von M unter f:

$f^{-1}(M) := \left\{ x \in A\colon f(x) \in M\right\}$

Ein Urbild ist damit ein Wert der sogenannten Urbildfunktion, die von der Potenzmenge 2^B der Zielmenge B in die Potenzmenge 2^A des Definitionsbereiches A abbildet.

Das Urbild einer einelementigen Menge M = {b} schreibt man auch als

$f^{-1}(b) := \{ x \in A : f(x) = b\}$

und nennt es das Urbild von b unter f. Diese Menge braucht aber nicht einelementig zu sein (sie kann also auch leer sein oder mehr als ein Element enthalten).

Das Urbild eines Elements wird zuweilen auch Faser dieses Elements genannt, insbesondere im Zusammenhang mit Faserbündeln.

Beispiele

Für die Funktion $f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ (ganze Zahlen) mit $f(x)\ := x^2$ gilt:

$f^{-1}(4) = \{ 2, -2 \}\$

$f^{-1}(0) = \{ 0 \}\$

$f^{-1}(3) = \emptyset$

$f^{-1}(-1) = \emptyset$

$f^{-1}(\{1,4\}) = \{-2, -1, 1, 2 \}\$

Eigenschaften

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

• Unter einer bijektiven Funktion $f\colon A \to B$ ist das Urbild jedes Elements (genau) einelementig. Die Abbildung, die jedem Element von B das (einzige, also eindeutig bestimmte) Element seines Urbildes zuordnet, heißt Umkehrfunktion von f. Man bezeichnet sie (auch – wie die Urbildfunktion) mit f ^{− 1}. Das kann leicht zu Missverständnissen führen, wenn man nicht ausführlicher $f^{-1}\colon B \to A$ für die Umkehrfunktion schreibt (wodurch sie dann deutlich von der Urbildfunktion $f^{-1}\colon 2^B \to 2^A$ unterschieden wird).
• Unter einer injektiven Funktion ist das Urbild eines Elements höchstens einelementig (also stets einelementig oder leer).
• Unter einer surjektiven Funktion ist das Urbild eines Elements mindestens einelementig (also stets nichtleer).

Mengenoperationen und -eigenschaften

Es sei $f\colon A \to B$ eine Funktion, und M und N seien Teilmengen von B :

• $f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$
• $f^{-1}(B) = A\$
• $f^{-1}(M \cup N) = f^{-1}(M) \cup f^{-1}(N)$
• $f^{-1}(M \cap N) = f^{-1}(M) \cap f^{-1}(N)\!\,$
• $f^{-1}(M^{\rm c}) = (f^{-1}(M))^{\rm c}\$
• $M \subseteq N \Rightarrow f^{-1}(M) \subseteq f^{-1}(N)$

Dabei bezeichnet $X^{\rm c}\!\,$ das Komplement von X in der jeweiligen Grundmenge.

Die Aussagen über Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern.

Bild und Urbild

Es sei $f\colon A \to B$ eine Funktion, M eine Teilmenge von A und N eine Teilmenge von B :

• $f^{-1}(f(M)) \supseteq M$
  Ist f injektiv, dann gilt die Gleichheit.
• $f(f^{-1}(N)) \subseteq N$
  Ist N im Bild von f enthalten, dann gilt die Gleichheit. Insbesondere gilt sie also, wenn f surjektiv ist.

Siehe auch

• Umkehrfunktion
• Bild (Mathematik)
• Kern (Mathematik)
• Homomorphiesatz