Injektivität

Eine injektive Funktion; X ist die Definitionsmenge und Y die Zielmenge. (Die Bildmenge besteht hier aus den Elementen A, B und D)

Injektivität oder Linkseindeutigkeit ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion bzw. Relation.

Sie besagt, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. Es werden also keine zwei verschiedenen Elemente der Definitionsmenge auf ein und dasselbe Element der Zielmenge abgebildet. Dabei darf die Bildmenge kleiner als die Zielmenge sein – wie es beispielsweise in der Grafik der Fall ist. Dies macht den Unterschied zu einer bijektiven Abbildung aus, bei der unbedingt jedem Element der Zielmenge ein Element der Definitionsmenge entsprechen muss.

Eine injektive Funktion, auch als Injektion bezeichnet, ist ein Spezialfall einer linkseindeutigen Relation.

Definitionen

Seien X und Y Mengen, sowie $f\colon\, X \to Y$ eine Abbildung von X nach Y.
Die folgenden Definitionen für Injektivität sind äquivalent:

• f heißt injektiv, wenn zu jedem y aus Y höchstens ein x aus X existiert mit f(x) = y. („Höchstens eines“ bedeutet dabei: keines oder genau eines, aber nicht mehrere.)
  Formal: $\forall y \in Y\colon\, (\exists! x \in X\colon\, f(x) = y\vee \neg (\exists x \in X\colon\, f(x) = y)).$

• f heißt injektiv, wenn aus der Gleichheit von Funktionswerten (y-Werten) die Gleichheit der in die Funktion eingesetzten x-Werte folgt.
  Formal: $\forall x_1, x_2 \in X\colon\, (f(x_1)= f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2)$

• f heißt injektiv, wenn ungleiche x-Werte stets auf ungleiche y-Werte abgebildet werden.
  Formal: $\forall x_1, x_2 \in X\colon\, (x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2))$
  

Verwendet man die dritte Definition zum Nachweis der Injektivität, führt dies oft zu einem Widerspruchsbeweis. Der direkte Beweis mit der zweiten Definition kann eleganter und kürzer sein.

Grafische Veranschaulichungen

Das Prinzip der Injektivität: Jeder Punkt in der Zielmenge (Y) wird höchstens einmal getroffen.

Drei injektive streng monoton steigende reelle Funktionen.

Drei injektive streng monoton fallende reelle Funktionen.

Beispiele und Gegenbeispiele

• Unmathematisches Beispiel: Die Funktion, die jedem Bürger der Bundesrepublik Deutschland mit Personalausweis die Nummer seines aktuellen Personalausweises zuordnet, ist injektiv, wobei als Zielmenge die Menge aller möglichen Personalausweisnummern angenommen wird (Denn Personalausweisnummern werden nur einmal vergeben).

• $\N$ bezeichne die Menge der natürlichen und $\Z$ die Menge der ganzen Zahlen.

$f_1\colon\, \N \rightarrow \N,\, x \mapsto 2x$ ist injektiv.

$f_2\colon\, \Z \rightarrow \Z,\, x \mapsto 2x$ ist injektiv.

$f_3\colon\, \N \rightarrow \N,\, x \mapsto x^2$ ist injektiv.

$f_4\colon\, \Z \rightarrow \Z,\, x \mapsto x^2$ ist nicht injektiv, da z.B. x und − x auf denselben Wert abgebildet werden.

Eigenschaften

• Eine stetige reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall ist genau dann injektiv, wenn sie in ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist, d.h. für zwei beliebige Zahlen a und b aus dem Definitionsbereich gilt: Aus a < b folgt f(a) < f(b) (steigend), bzw. aus a < b folgt f(a) > f(b) (fallend).

• Man beachte, dass die Injektivität einer Funktion $f\colon\, A \to B$ nur vom Funktionsgraphen $\{(x, f(x)) \mid x \in A\}$ abhängt (im Gegensatz zur Surjektivität, die auch von der Zielmenge B abhängt, welche man am Funktionsgraphen nicht ablesen kann).

• Ein Gruppen- oder Vektorraumhomomorphismus ist genau dann injektiv, wenn sein Kern trivial ist, d. h. nur aus dem neutralen Element bzw. dem Nullvektor besteht.

• Sind die Funktionen $f\colon\, A \to B$ und $g\colon\, B \to C$ injektiv, dann gilt dies auch für die Komposition (Verkettung) $g \circ f\colon\, A \to C$.

• Aus der Injektivität von $g \circ f$ folgt, dass f injektiv ist.

• Eine Funktion $f\colon\, A \to B$ mit nichtleerer Definitionsmenge A ist genau dann injektiv, wenn f eine linke Inverse hat, also eine Funktion $g\colon\, B \to A$ mit $g \circ f = \operatorname{id}_A$ (wobei $\operatorname{id}_A$ die identische Abbildung auf A bezeichnet).

• Eine Funktion $f\colon\, A \to B$ ist genau dann injektiv, wenn sie links kürzbar ist, also für beliebige Funktionen $g, h\colon\, C \to A$ mit $f \circ g = f \circ h$ folgt g = h. (Diese Eigenschaft motiviert den in der Kategorientheorie verwendeten Begriff Monomorphismus, jedoch sind bei allgemeinen Morphismen injektiv und links kürzbar nicht mehr äquivalent.)

• Eine Funktion $f\colon\, A \to B$ ist genau dann injektiv, wenn für alle Teilmengen $X,Y \subseteq A$ gilt: $f(X \cap Y)=f(X) \cap f(Y)\!\,$.

• Eine Funktion $f\colon\, A \to B$ ist genau dann injektiv, wenn $f^{-1}\big(f(T)\big) = T$ für alle $T \subset A$.

• Jede beliebige Funktion $f\colon\, A \to B$ ist darstellbar als Verkettung $f = h \circ g$, wobei g surjektiv und h injektiv (nämlich eine Inklusionsabbildung) ist.

Mächtigkeiten von Mengen

Für eine endliche Menge A ist die Mächtigkeit | A | einfach die Anzahl der Elemente von A. Ist nun $f\colon\, A \to B$ eine injektive Funktion zwischen endlichen Mengen, dann muss B mindestens genauso viele Elemente wie A haben, es gilt also $|B| \ge |A|$.

Man kann dies äquivalent auch so formulieren: Ist $f\colon\, A \to B$ eine Funktion zwischen endlichen Mengen und gilt | B | < | A | , dann ist f nicht injektiv. Es gibt also (mindestens) zwei verschiedene Elemente x und y von A mit f(x) = f(y). Diese Aussage wird auch als Schubfachprinzip bezeichnet.

Für unendliche Mengen werden Injektionen verwendet, um Mächtigkeiten der Größe nach zu vergleichen.

Geschichte

Nachdem man generationenlang mit Formulierungen wie „eineindeutig“ ausgekommen war, kam erst in der Mitte des 20. Jahrhunderts mit der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf. Wahrscheinlich wurde das Wort injektiv ebenso wie bijektiv und surjektiv in den 1930ern von N. Bourbaki geprägt. Das Substantiv Injektion wurde 1950 von S. MacLane, das Adjektiv injektiv 1952 in den Foundations of algebraic topology von Eilenberg und Steenrod eingeführt^[1].

Es herrscht stellenweise große Verwirrung bezüglich der Zuordnung zwischen den Begriffen Eineindeutig einerseits und Injektiv bzw. Bijektiv andererseits. Quellen (Lehrbücher) aus der reinen Mathematik favorisieren Injektiv, „fachfremde“ Quellen favorisieren teilweise eher Bijektiv. Es sollte daher besser davon abgesehen werden, das Wort Eineindeutig in diesem Kontext zu verwenden.

Siehe auch

• Bijektivität
• Surjektivität
• Einbettung
• Monomorphismus

Einzelnachweise

1. ↑ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics

Weblinks

•  Wikibooks: Beweisarchiv: Mengenlehre – Lern- und Lehrmaterialien