Ballistisches Pendel

Schematische Darstellung

Ein Ballistisches Pendel ist eine mechanische Vorrichtung, um Geschossgeschwindigkeiten zu messen. Es wurde 1740 von Benjamin Robins (1707–1751) erfunden ^[1].

Funktionsprinzip

Ein schwerer Holzklotz (im Bild eine Holzkugel) wird an einem langen Draht oder einer Stange horizontal drehbar aufgehängt. Das zu messende Geschoss wird auf den Holzklotz abgefeuert, bleibt dort stecken und lenkt ihn aus. Durch Messen der maximalen Pendelauslenkung lässt sich näherungsweise die Geschwindigkeit des abgefeuerten Geschosses berechnen.

Formel

Es sind gegeben:

• M: Masse des Holzklotzes
• m: Masse des Geschosses
• g: Erdbeschleunigung
• l: Länge des Pendels von der Aufhängung bis zum Schwerpunkt des Holzklotzes

Es wird gemessen:

• φ_m: Auslenkwinkel des Pendels zur Ruhelage (senkrecht)

Dann beträgt die Geschossgeschwindigkeit:

$v = \left(\frac{M}{m} + 1\right) \sqrt {2 \, g \, l \, (1 - \cos \varphi_m)}$

Diese Formel ist ein Spezialfall der unten gegebenen Formel. Allerdings ist es sinnvoll, eine komplette Herleitung zu geben, da nicht immer der Winkel gegeben ist. In der Praxis ist es deutlich leichter, die vertikale Auslenkung zu messen. Man kennt den Winkel $\varphi$ also nicht, sondern nur die Auslenkung L.

Herleitung

Es handelt sich um einen unelastischen Stoß:

$(M + m) \cdot V = m \cdot v$,

wobei V die Geschwindigkeit der Holzkugel nach dem Stoß bezeichnet. Die Geschwindigkeit berechnet man mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes ausgehend von der potentiellen Energie:

$E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} (M + m)\, V^2 = (M + m)\,g\,h = E_\mathrm{pot}$

Für die Höhe h der Auslenkung erhalten wir:

$h=l \cdot \left( 1 - \cos \varphi \right)$

Mit dem Theorem

$\cos ( \arcsin x ) = \sqrt{1-x^2}$

erhalten wir den Winkel

$\sin \varphi = \frac{L}{ l}$,

welchen wir einsetzen

$\frac{1}{2} (M+m) \, V^2 = (M+m) \, g \cdot l \, \left( 1 - \sqrt{1- \left( \frac{L}{l} \right)^2} \right)$.

Auflösen nach V liefert schließlich:

$V= \sqrt{2\,g\,l\cdot\left( 1 - \sqrt{1- \left( \frac{L}{l} \right)^2} \right)}$

Das setzt man in die Formel des unelastischen Stoßes ein. Das liefert das Ergebnis:

$v=\frac{M+m}{m} \cdot \sqrt{2\,g\,l\cdot\left( 1 - \sqrt{1- \left( \frac{L}{l} \right)^2} \right)}$

Einzelnachweise

1. ↑ Encyclopædia Britannica Online

Siehe auch

• Drall (Waffe)

Literatur

• Ekbert Hering, Rolf Martin, Martin Stohrer: Physik für Ingenieure. 4. verbesserte Auflage. VDI-Verlag, Düsseldorf 1992, ISBN 3-18-401227-1.
• Beat Kneubuehl (Hrsg.), Robin Coupland, Markus Rothschild, Michael Thali: Wundballistik. Grundlagen und Anwendungen. 3. vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Medizin Verlag, Heidelberg, 2008, ISBN 978-3-540-79008-2.