Tangenssatz

In der Trigonometrie stellt der Tangenssatz eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines ebenen Dreiecks und dem Tangens der halben Summe bzw. der halben Differenz zweier Winkel des Dreiecks her.

Für die drei Seiten a, b und c eines Dreiecks sowie für die diesen Seiten jeweils gegenüber liegenden Winkel α, β und γ gilt:

$\frac{b-c}{b+c} = \frac{\tan \frac{\beta - \gamma}{2}}{\tan \frac{\beta + \gamma }{2}}$

Wegen $\tan \frac{\beta+\gamma}{2}= \tan \frac{180^\circ-\alpha}{2} = \tan \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = \cot \frac{\alpha}{2}$ kann man diese Formel auch schreiben als

$\frac{b-c}{b+c} = \frac{\tan \frac{\beta -\gamma }{2}}{\cot \frac{\alpha }{2}}$.

Analoge Formeln für $\frac{c-a}{c+a}$ und $\frac{a-b}{a+b}$ erhält man durch zyklische Vertauschung.

Beweis

Aus dem Sinussatz folgt

$\frac{b-c}{b+c}=\frac{\sin\beta-\sin\gamma}{\sin\beta+\sin\gamma},$

und aus den Additionstheoremen ergibt sich

$\sin\beta-\sin\gamma=2\cos\frac{\beta+\gamma}2\sin\frac{\beta-\gamma}2$

sowie

$\sin\beta+\sin\gamma=2\sin\frac{\beta+\gamma}2\cos\frac{\beta-\gamma}2.$

Division ergibt die gewünschte Formel.