Toeplitz-Matrix

Toeplitz-Matrizen sind (endliche oder unendliche) Matrizen mit einer speziellen Struktur. Sie sind nach Otto Toeplitz benannt, der ihre algebraischen und funktionalanalytischen Eigenschaften in dem 1911 erschienenen Artikel Zur Theorie der quadratischen und bilinearen Formen von unendlichvielen Veränderlichen (Mathematische Annalen 70, S.351-376) untersuchte.

Definition

Eine Matrix $A = (a_{i\,j})$ wird Toeplitz-Matrix genannt, wenn die Einträge $a_{i\,j}$ nur von der Differenz i − j der Indizes abhängen. Die Haupt- und Nebendiagonalen der Matrix sind also konstant. Eine endliche Toeplitz-Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist somit durch die m + n − 1 Einträge am linken und oberen Rand (also die erste Zeile und erste Spalte) vollständig bestimmt.

Beispiel

Hier ein Beispiel einer $4\times 5$-Toeplitz-Matrix:

$M = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \end{pmatrix}$

Anwendung

Für große lineare Gleichungssysteme Ax = b, bei denen A eine Toeplitz-Matrix ist, gibt es besonders effiziente Lösungsverfahren. Dabei werden häufig unendlich große Toeplitz-Matrizen durch ihre Erzeugungsfunktion beschrieben. Sofern diese Fourier-transformierbar sind, können die Matrixoperationen Multiplikation und Inversion auf einfache Multiplikationen bzw. Divisionen zurückgeführt werden. Umgekehrt nutzt man die Eigenschaften von Toeplitz-Matrizen auch bei der schnellen Fourier-Transformation.

Mit Toeplitz-Matrizen verwandt sind die Hankel-Matrizen, deren Einträge in den von rechts oben nach links unten verlaufenden Diagonalen konstant sind.

Literatur

• I. I. Volkov: {{{Titel}}}. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.