Toeplitz-Algebra

Postliminale C*-Algebren sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C*-Algebren. Alternative Bezeichnungen, die weiter unten motiviert werden, sind GCR-Algebra oder Typ-I-C*-Algebra. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung der Klasse der liminalen C*-Algebren.

Definition

Eine C*-Algebra A heißt postliminal, wenn für jedes echte, abgeschlossene, zweiseitige Ideal $I\subset A$ die Quotientenalgebra A / I ein von {0} verschiedenes liminales Ideal enthält.

Damit ist der Begriff der postliminalen C*-Algebra auf den der liminalen C*-Algebra zurückgeführt und stellt offenbar eine Verallgemeinerung dar. Das wird auch durch die erste der folgenden Charakterisierungen deutlich.

Charakterisierungen

Bilder irreduzibler Darstellungen

Ist π eine irreduzible Darstellung der C*-Algebra A auf dem Hilbertraum H, so enthält A / ker(π) nach Definition ein von {0} verschiedenes liminales Ideal. Man kann zeigen, dass durch $\tilde{\pi}(a+\mbox{ker}(\pi)):= \pi(a)$ eine irreduzible Darstellung $\tilde{\pi}$ dieses Ideals definiert wird. Da I liminal ist, fällt das Bild $\tilde{\pi}(I)$ mit der Algebra K(H) der kompakten Operatoren zusammen und daraus folgt $\pi(A)\supset K(H)$. Das Bild einer jeden irreduziblen Darstellung umfasst also die kompakten Operatoren und davon gilt sogar die Umkehrung:

• Eine C*-Algebra A ist genau dann postliminal, wenn $\pi(A)\supset K(H)$ für jede irreduzible Darstellung $\pi:A\rightarrow L(H)$ von A.

Für liminale C*-Algebren hat man eine fast gleich lautende Charakterisierung, die Inklusion ist lediglich durch eine Gleichheit ersetzt (siehe Artikel liminale C*-Algebra). Da man liminale C*-Algebren wegen dieser Beziehung zu den kompakten Operatoren auch CCR-Algebren nennt (CCR=completely continuous representations), heißen postliminale C*-Algebren aus demselben Grunde auch GCR-Algebren (GCR = generalized completely continuous representations).

Kompositionsreihen

Eine Kompositionsreihe einer C*-Algebra A ist eine Familie $(I_\beta)_{0\le\beta\le\alpha}$ von abgeschlossenen, zweiseitigen Idealen $I_\beta\subset A$, wobei

1. α ist eine Ordinalzahl (β durchläuft also alle Ordinalzahlen bis α einschließlich.)
2. $I_0\,=\,\{0\}$ und $I_\alpha \,=\, A$.
3. Für $0\le \beta \le \gamma \le \alpha$ gilt $I_\beta \subset I_\gamma$
4. Ist $\gamma \in [0,\alpha]$ eine Limeszahl, so ist I_γ der Abschluss von $\bigcup_{0\le \beta < \gamma}I_\beta$.

Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Charakterisierung beweisen:

• Eine C*-Algebra A ist genau dann postliminal, wenn es eine Kompositionsreihe $(I_\beta)_{0\le\beta\le\alpha}$ von A gibt, so dass alle Quotienten I_{β + 1} / I_β liminal sind.

Im Falle separabler C*-Algebren kann man hier den Begriff der Ordinalzahl umgehen, denn wenn die Ideale der Kompositionsreihe alle verschieden sind (was keine weitere Einschränkung darstellt), so ist α maximal $\omega = \N$ und man kann die Kompositionsreihe mit natürlichen Zahlen indizieren.

Typ I

Eine Darstellung $\pi:A\rightarrow L(H)$ einer C*-Algebra A heißt vom Typ I, falls die vom Bild π(A) erzeugte von-Neumann-Algebra vom Typ I ist, das heißt wenn der Bikommutant $\pi(A)'' \subset L(H)$ eine Typ-I-von-Neumann-Algebra ist.

• Eine C*-Algebra A ist genau dann postliminal, wenn jede Darstellung vom Typ I ist.

Daher nennt man postliminale C*-Algebren auch Typ-I-C*-Algebren. Diese Bezeichnung kann aber zur Verwirrung Anlass geben, denn eine Typ-I-von-Neumann-Algebra, die ja auch eine C*-Algebra ist, ist im Allgemeinen keine Typ-I-C*-Algebra, wie das Beispiel A = L(H) mit unendlich-dimensionalem Hilbertraum H zeigt.

Spektrum

Ist [π] eine Äquivalenzklasse irreduzibler Darstellungen von A, also ein Element des Spektrums $\hat{A}$, so hängt das Ideal ker(π) nur von der Äquivalenzklasse [π] und nicht von der konkreten Darstellung π ab. Da die Kerne irreduzibler Darstellungen definitionsgemäß die primitiven Ideale sind, ist die Kernbildung eine Abbildung $\hat{A}\to \mbox{Prim}(A)$ vom Spektrum in den Raum der primitiven Ideale. Diese ist nach Konstruktion surjektiv, im Allgemeinen aber nicht injektiv.

• Ist A eine postliminale C*-Algebra, so ist die Kernabbildung $\hat{A}\to \mbox{Prim}(A)$ injektiv. Ist A separabel, so gilt hiervon die Umkehrung.

Es ist offen, ob die genannte Umkehrung auch im Falle nicht-separabler C*-Algebren gilt.

Beispiele

• Liminale C*-Algebren sind postliminal.

• Es sei T die vom Shiftoperator $s\in L(\ell^2)$ erzeugte C*-Algebra, die sogenannte Toeplitz-Algebra (nach Otto Toeplitz). Da 1 − sⁿs ^{* n} die Orthogonalprojektion auf den von den Basisvektoren $e_1,\ldots e_n \in \ell^2$ erzeugten Unterraum und damit ein kompakter Operator ist, kann man zeigen, dass $K(H)\subset T$. Weiter gilt, dass $T/K(H) \cong C(S^1)$, wobei $S^1\subset \C$ die Kreislinie ist, denn T / K(H) wird von der Restklasse s + K(H) erzeugt, und diese hat die Kreislinie als Spektrum. Man hat sogar eine exakte Sequenz

$\{0\} \rightarrow K(H) \rightarrow T \rightarrow C(S^1) \rightarrow \{0\}$

.

Jedenfalls ist durch I₀: = {0},I₁: = K(H),I₂: = T eine Kompositionsreihe von T gegeben, und die Quotienten $T/K(H) \cong C(S^1)$ und $K(H)/\{0\} \cong K(H)$ sind liminal. Daher ist T postliminal, aber nicht liminal, denn $\mbox{id}_T: T\rightarrow L(\ell^2)$ ist eine irreduzible Darstellung, die den nicht-kompakten Operator s im Bild enthält.

• $L(\ell^2)$ ist ein Beispiel für eine C*-Algebra, die nicht postliminal ist. Die Calkin-Algebra ist ein weiteres Beispiel einer nicht-postliminalen C*-Algebra.

Eigenschaften

• Eine Unter-C*-Algebra einer postliminalen C*-Algebra ist wieder postliminal.
• Ist $I\subset A$ ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in der postliminalen C*-Algebra A, so ist auch A / I postliminal.
• Ist $I\subset A$ ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in der C*-Algebra A und sind I und A / I postliminal, so ist auch A postliminal.
• Postliminale C*-Algebren sind nuklear.
• Ist A postliminal, so besitzt A eine Kompositionsreihe $(I_\beta)_{0\le\beta\le\alpha}$, so dass alle Quotienten I_{β + 1} / I_β C*-Algebren mit stetiger Spur sind. Das verschärft die oben mittels Kompositionsreihen gegebene Charakterisierung.
• Eine postliminale C*-Algebra A ist genau dann liminal, wenn jeder Punkt in $\hat{A} \cong \mbox{Prim}(A)$ abgeschlossen bzgl. der Zariski-Topologie ist, das heißt wenn das Spektrum $\hat{A}$ ein T₁-Raum ist.

Quellen

• W. Arveson: Invitation to C*-algebras, ISBN 0387901760
• J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969