- Treppenfunktion
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Eine Funktion
auf einem Intervall
heißt Treppenfunktion (oder auch fälschlicherweise einfache Funktion oder Elementarfunktion), wenn es disjunkte Intervalle
gibt, so dass
und f auf den Intervallen
konstant ist.
Treppenfunktionen benutzt man auch zur Approximation von Integralen. Das Integral einer Treppenfunktion wird durch
definiert. Der Vorteil ist hier, dass man ohne Grenzwertprozess auskommt und nur endliche Summen hat. In der Formel bezeichnet
die Länge des Intervalles Xi, also zum Beispiel für Xi = [ai,bi] ist
. Mit yi bezeichnen wir den Wert von f auf dem Intervall Xi.
Bereits durch die einfache Definition des Integrals einer Treppenfunktion hat man ein starkes mathematisches Hilfsmittel gewonnen: Jede beschränkte, stetige Funktion
, D,
, kann beliebig genau durch eine Treppenfunktion approximiert werden. Also kann auch das Integral dieser Funktion beliebig genau approximiert werden. Diese Tatsache ist ein wichtiges Fundament für die Definition des Riemann-Integrals. Auf diese Weise hat Jean Gaston Darboux die Einführung des Riemann-Integrals vereinfacht.
Beispiel: Wahrscheinlichkeitsfunktion
Beispiele
- Die Heaviside-Funktion ist 0 für jede negative Zahl, sonst 1.
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