Treppenfunktion

Beispiel einer Treppenfunktion

Eine Funktion $f: X\rightarrow Y$ auf einem Intervall $X\,\subseteq \R$ heißt Treppenfunktion (oder auch fälschlicherweise einfache Funktion oder Elementarfunktion), wenn es disjunkte Intervalle $X_1, \ldots, X_n$ gibt, so dass

$X = \bigcup_{i = 1}^n X_i$

und f auf den Intervallen $X_1, \ldots, X_n$ konstant ist.

Treppenfunktionen benutzt man auch zur Approximation von Integralen. Das Integral einer Treppenfunktion wird durch

$\int_X f(x) \mathrm dx = \sum_{i = 1}^n \ell(X_i) y_i$

definiert. Der Vorteil ist hier, dass man ohne Grenzwertprozess auskommt und nur endliche Summen hat. In der Formel bezeichnet $\ell(X_i)$ die Länge des Intervalles X_i, also zum Beispiel für X_i = [a_i,b_i] ist $\ell(X_i) = b_i - a_i$. Mit y_i bezeichnen wir den Wert von f auf dem Intervall X_i.

Bereits durch die einfache Definition des Integrals einer Treppenfunktion hat man ein starkes mathematisches Hilfsmittel gewonnen: Jede beschränkte, stetige Funktion $f: D \rightarrow Y$, D, $Y\subseteq \R$, kann beliebig genau durch eine Treppenfunktion approximiert werden. Also kann auch das Integral dieser Funktion beliebig genau approximiert werden. Diese Tatsache ist ein wichtiges Fundament für die Definition des Riemann-Integrals. Auf diese Weise hat Jean Gaston Darboux die Einführung des Riemann-Integrals vereinfacht.

Beispiel: Wahrscheinlichkeitsfunktion

Beispiele

• Die Heaviside-Funktion ist 0 für jede negative Zahl, sonst 1.

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