Heaviside-Funktion

Die Heaviside-Funktion, auch Theta-, Treppen-, Schwellenwert-, Stufen-, Sprung- oder Einheitssprungfunktion genannt, ist eine in der Mathematik und Physik oft verwendete Funktion. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) benannt.

Die Heaviside-Funktion hat für jede beliebige negative Zahl den Wert null, andernfalls den Wert eins. Sie ist also die charakteristische Funktion der positiven reellen Zahlen. In Formeln geschrieben heißt das:

Heaviside-Funktion

$\Theta(x)= \begin{cases} 0 : & x < 0\\ 1 : & x \ge 0 \end{cases}$

In der Fachliteratur ist statt Θ(x) auch eine davon abweichende Nomenklatur geläufig:

• H(x), welche sich am Namen von Oliver Heaviside orientiert.
• s(x) und σ(x) nach der Bezeichnung Sprungfunktion.
• u(x) nach der Bezeichnung englisch unit step function.
• Auch ε(x) wird häufig verwendet.
• In der Systemtheorie verwendet man auch das Symbol 1(x).

Den Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle x = 0 kann man auch anders festlegen. Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man

$\Theta_c(x)= \begin{cases} 0 : & x < 0\\ c : & x = 0\\ 1 : & x > 0 \end{cases}$

mit $c = \Theta(0)\,.$

Durch die Wahl $\Theta(0) := \tfrac{1}{2}$ erreicht man, dass die Gleichungen

$\Theta_\frac{1}{2}(x) = \tfrac{1}{2}(\sgn{(x)} + 1)$ und damit auch

$\Theta_\frac{1}{2}( -x ) = 1 - \Theta_\frac{1}{2}(x)$

für alle reellen x gültig sind.

Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme der Stelle x = 0 überall stetig. Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der Nachrichtentechnik oder als mathematisches Filter: Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von x = 0 den Wert Null hat (deterministische Funktion), rechts davon aber mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

• Die Heaviside-Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren. Die Ableitung der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta-Distribution, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\Theta(x) = \delta(x)$

Eine heuristische Begründung für diese Formel erhält man, wenn man Θ(x) und δ(x) geeignet approximiert, z. B. durch

$\Theta_\epsilon (x) := 0$ für $x< (-\epsilon)$,

$\Theta_\epsilon (x) := \left(\frac{1}{2} + \frac{x}{2\epsilon}\right)$ für $|x|\le\epsilon$,

$\Theta_\epsilon (x) := 1$ für $x>\epsilon\,,$

sowie

$\delta_\epsilon (x):= 0$ für $|x| >\epsilon$

und

$\delta_\epsilon (x) := \frac{1}{2\epsilon}$ für $|x|\le\epsilon\,.$

• Die Stammfunktion der Heaviside-Sprungfunktion erhält man durch partielle Integration und Anwendung der Faltungseigenschaft der Delta-Distribution:

$\int\Theta(x) \, \mathrm dx = \Theta(x)x + C$.

• Eine Integralrepräsentation der Heaviside-Sprungfunktion lautet wie folgt:

$\Theta(x)=\lim_{ \varepsilon \to 0} -{1\over 2\pi i}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+i\varepsilon} e^{-i x \tau} \, \mathrm d \tau$

• Eine andere Repräsentation ist gegeben durch:

$\Theta(x)=\lim_{\varepsilon\to 0}{1\over\pi}\left[ \arctan \left( {x\over\varepsilon} \right)+{\pi\over 2} \right]$

Siehe auch

• Sprungantwort
• Schwellenwert (Elektronik), Schwellwertverfahren
• Dirac-Funktion

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Heaviside Step Function. In: MathWorld. (englisch)