Basis (Stellenwertsystem)

Ein Stellenwertsystem, Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem ist ein Zahlensystem, das im Vergleich zu Additionssystemen mit wenigen Symbolen (meist Ziffern oder Zahlzeichen genannt) große Zahlen darstellt. In diesem Zusammenhang wird auch oft von der b-adischen Darstellung von Zahlen (nicht zu verwechseln mit p-adischen Zahlen) gesprochen, wobei die Variable b für die Anzahl der Symbole steht. Der Wert von b wird auch als Basis oder Grundzahl bezeichnet.

Beispiele für Stellenwertsysteme sind das im Alltag gewöhnlich gebrauchte Dezimalsystem (dekadisches System mit der Grundzahl 10) oder das in der Datenverarbeitung häufig verwendete Dualsystem (dyadisches System mit der Grundzahl 2), das Oktalsystem (mit der Grundzahl 8), das Hexadezimalsystem (mit der Grundzahl 16) sowie das Sexagesimalsystem (mit der Grundzahl 60). Ein Beispiel für ein Zahlensystem, das kein Stellenwertsystem ist, ist das der römischen Ziffern. Es handelt sich dabei um ein Additionssystem.

Es gibt zwei unterschiedliche Arten, die Zifferndarstellung einer Zahl zu betrachten:

• einerseits als Folge von Symbolen, also aufgefasst als Wörter einer formalen Sprache,
• andererseits als Folge von Zahlen, die diesen Symbolen entsprechen.

Durch die Zuordnung zwischen Symbolen und Zahlen stehen die beiden Sichtweisen in enger Beziehung. Für mathematische Anwendungen wie zum Beispiel bei Teilbarkeitsregeln wird meist die zweite Möglichkeit gewählt.