Basis (Modul)

Der Begriff der Basis eines Moduls ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffes der Basis eines Vektorraumes.

Definition

Ein System von Elementen $\{x_i\mid i\in I\}$ eines Moduls M über einem Ring R mit Einselement definiert eine Abbildung

$\xi\colon R^{(I)}\longrightarrow M$

von der direkten Summe von Kopien von R nach M, die von den Abbildungen

$R\to M,\quad 1\mapsto x_i$

induziert wird.

• Ist ξ injektiv, so heißt $\{x_i\mid i\in I\}$ linear unabhängig.
• Ist ξ surjektiv, so heißt $\{x_i\mid i\in I\}$ ein Erzeugendensystem.
• Ist ξ bijektiv, so heißt $\{x_i\mid i\in I\}$ eine Basis von M.

Eine Basis ist also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Eigenschaften

Die lineare Unabhängigkeit von $\{x_i\mid i\in I\}$ ist äquivalent dazu, dass sich die 0 nur als die triviale Linearkombination darstellen lässt:

$\sum a_ix_i=0\quad\Longrightarrow\quad a_i=0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ i\in I.$

Ist eine Menge linear abhängig, so folgt daraus – im Gegensatz zum Fall von Vektorräumen – im Allgemeinen nicht, dass sich eines der Elemente als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Das hat die folgenden Konsequenzen:

• Eine linear unabhängige Teilmenge lässt sich im Allgemeinen nicht zu einer Basis ergänzen.
• Eine maximal linear unabhängige Teilmenge ist im Allgemeinen keine Basis.
• Ein minimales Erzeugendensystem ist im Allgemeinen keine Basis.

Als Beispiele betrachte man den Z-Modul Z: Das System {2} ist maximal linear unabhängig, das System {2,3} ist ein minimales Erzeugendensystem, keines der beiden ist eine Basis.

Ein Modul über einem Ring mit Einselement besitzt genau dann eine Basis, wenn er frei ist. Der Begriff freier Modul ist eine Verallgemeinerung der Basisexistenz auf Moduln, deren Grundring nicht notwendig ein Einselement hat.

Beispiel

Es sei $M=\mathbb Z$ die abelsche Gruppe der ganzen Zahlen als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen. Dann ist

• {2} eine maximale linear unabhängige Teilmenge.
• {2,3} ein minimales Erzeugendensystem, aber nicht linear unabhängig.

Die einzigen Basen von M sind {1} und { − 1}.