Urysohn-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind Urysohn-Räume (benannt nach Pavel Urysohn) spezielle topologische Räume, die gewisse Eigenschaften erfüllen.

Definition

Sei X ein topologischer Raum. Wir sagen, dass zwei Punkte x und y durch abgeschlossene Umgebungen getrennt sind, falls disjunkte abgeschlossene Umgebungen x und y existieren.

X ist ein Urysohn-Raum, falls je zwei verschiedene Punkte durch abgeschlossene Mengen getrennt sind. Man sagt auch, dass X das Trennungsaxiom T_2½ erfüllt.

Beziehungen zu den anderen Trennungsaxiomen

Jeder Urysohn-Raum ist ein Hausdorff-Raum und erfüllt somit die Trennungsaxiome T₀, T₁ und T₂.

Andererseits ist jeder reguläre Hausdorff-Raum wie auch jeder vollständige Hausdorff-Raum ein Urysohn-Raum.

Beispiel

Im Folgenden konstruieren wir einen topologischen Raum, der ein Urysohn-Raum, aber kein regulärer Raum und auch kein vollständiger Hausdorff-Raum ist. Sei dazu S die Menge der rationalen Punkte im Einheitsquadrat in $\mathbb{Q}^2$, ohne die Paare, mit der ersten Koordinate ½. Weiter sei X die Menge S vereinigt mit den Punkten (0,0) und (1,0) und allen Punkten $(1/2,r\sqrt{2})$, wobei r über alle rationalen Zahlen $0<r<1/\sqrt{2}$ läuft. Die offenen Mengen sind durch folgende Umgebungsbasen gegeben:

• für die Punkte aus S die von der euklidischen Topologie induzierten,
• für (0,0) die Punkte der Form (x,y), wobei 0 < x < 1 / 4 und 0 < y < 1 / n für alle natürlichen Zahlen n zusammen mit (0,0),
• für (1,0) die Punkte der Form (x,y), wobei 3 / 4 < x < 1 und 0 < y < 1 / n für alle natürlichen Zahlen n, zusammen mit (1,0),
• für $(1/2,r\sqrt{2})$ die Punkte der Form (x,y), wobei 1 / 4 < x < 3 / 4 und $|y-r\sqrt{2}|<1/n$.