Vollständiger Hausdorff-Raum

Vollständige Hausdorff-Räume sind in der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften erfüllen.

Definition

Sei X ein topologischer Raum. Wir sagen, dass zwei Punkte x und y durch eine Funktion getrennt sind, falls eine stetige Funktion $f:X\rightarrow[0,1]$ existiert, so dass f(x) = 0 und f(y) = 1 gilt.

X ist ein vollständiger Hausdorff-Raum, falls zwei verschiedene Punkte x und y immer durch eine Funktion getrennt sind. Man sagt auch, dass X vollständig T₂ sei.

Beziehungen zu den anderen Trennungsaxiomen

Jeder vollständige Hausdorff-Raum ist ein Urysohn-Raum und erfüllt somit unter anderem die Trennungsaxiome T₀, T₁ und T₂.

Andererseits ist jeder Tychonoff-Raum ein vollständiger Hausdorff-Raum.

Weiter existieren dagegen Beispiele, die zeigen, dass weder jeder vollständige Hausdorff-Raum ein regulärer Hausdorff-Raum ist, noch dass jeder reguläre Hausdorff-Raum ein vollständiger Hausdorff-Raum ist.

Beispiele

Die euklidische Topologie auf $\mathbb{R}^{n}$ definiert einen vollständigen Hausdorff-Raum.

Wir definieren auf $\mathbb{R}$ die Topologie, die durch die Vereinigung der Betragstopologie mit der Topologie, deren offenen Mengen die Mengen der Form $U\setminus A$ mit einer in der Betragstopologie offenen Menge U und einer abzählbaren Menge A erzeugt wird. Als eine Erweiterung der Betragstopologie ist diese Topologie vollständig hausdorffsch. Sie ist aber nicht regulär und somit erhalten wir auch keinen Tychonoff-Raum.