Variation (Statistik)

Die Variation ist ein Maß für die Variabilität von Beobachtungswerten x₁, ..., x_n (oder analog auch für Zufallsvariablen X₁, ..., X_n)

$V=\tfrac{1}{2n}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (x_i -x _j)^2=\tfrac{1}{n}\sum_{i<j} (x_i -x _j)^2.$

Die Variation ist auch die n-fache Varianz $s_x^2$ der Beobachtungswerte

$V=ns_x^2.$

Wenn man das arithmetische Mittel $\bar{x}$ der Beobachtungswerte in den Summanden der Doppelsumme aufaddiert und abzieht (also Null einfügt), dann gilt

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (x_i -\bar{x}+\bar{x}-x _j)^2$

$=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (x_i -\bar{x})^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n(\bar{x}-x _j)^2+2\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (x_i -\bar{x})(\bar{x}-x _j)$

$=\sum_{j=1}^n \underbrace{\sum_{i=1}^n (x_i -\bar{x})^2}_{=ns_x^2} + \sum_{i=1}^n \underbrace{\sum_{j=1}^n(\bar{x}-x _j)^2}_{=ns_x^2} +2 \underbrace{\left(\sum_{i=1}^n (x_i -\bar{x})\right)}_{=0} \underbrace{\left(\sum_{j=1}^n (\bar{x}-x_j)\right)}_{=0}$

$=2n^2s_x^2$

Daraus folgt, dass

$V=\tfrac{1}{2n}2n^2s_x^2=ns_x^2.$

Siehe auch

• Varianz
• Standardabweichung
• Streuung
• Streuungsmaß