- Volltreuer Funktor
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Treue Funktoren und die hier ebenfalls zu besprechenden vollen und volltreuen Funktoren, die eng damit zusammenhängen, sind in der mathematischen Theorie der Kategorientheorie betrachtete Funktoren mit speziellen Eigenschaften.
Inhaltsverzeichnis
Definitionen
Sei
ein Funktor zwischen zwei Kategorien
und
. Ein solcher Funktor ordnet definitionsgemäß jedem Objekt
und jedem Morphismus
aus
, wobei X und Y Objekte aus
seien, ein Objekt
beziehungsweise einen Morphismus
zu, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind (siehe Funktor).
Zu jedem Paar (X,Y) von Objekten aus
hat man eine Abbildung:
Man nennt den Funktor T treu (bzw. voll, bzw. volltreu), wenn die Abbildungen TX,Y für jedes Paar (X,Y) von Objekten aus
injektiv (bzw. surjektiv, bzw. bijektiv) sind. An Stelle von volltreu findet man auch die Bezeichnung völlig treu.
Einbettungen
Ist
ein Funktor, so beziehen sich die Begriffe treu, voll und volltreu nur auf Morphismenmengen zwischen je zwei Objekten, sie beziehen sich nicht auf die Klassen aller Objekte bzw. aller Morphismen, insbesondere sagt die Treue des Funktors T nicht aus, dass eine der Abbildungen
injektiv ist, was im Allgemeinen auch nicht der Fall ist. Um den Zusammenhang dieser Begriffe und die Verwendung obiger Definitionen zu beleuchten, wird hier die folgende einfache Aussage bewiesen:
- Wenn der Funktor T treu ist, so ist TOb genau dann injektiv, wenn TMor injektiv ist.
Ist TMor injektiv und sind
mit T(X) = T(Y), so folgt T(idX) = idT(X) = idT(Y) = T(idY), also nach Voraussetzung idX = idY und damit X = Y. Daher ist TOb injektiv. (Für diese Richtung wird die Treue des Funktors nicht benötigt.)
Sei nun umgekehrt TOb injektiv, und seien
mit T(f) = T(g). Es gibt dann Objekte X1,X2,Y1,Y2 aus der Kategorie
, so dass f und g Morphismen
bzw.
sind. Es ist f = g zu zeigen. Um die Treue des Funktors anwenden zu können, müssen wir X1 = X2 und Y1 = Y2 zeigen. Da T Funktor ist, erhält man Morphismen
und
. Da T(f) = T(g), folgt T(X1) = T(X2) und T(Y1) = T(Y2). Weil TOb nach Voraussetzung injektiv ist, erhalten wir X1 = X2 und Y1 = Y2. Daher ist
und die Treue von T liefert, wie gewünscht, f = g.
Man nennt einen Funktor T eine Einbettung, wenn TMor injektiv ist. Für einen treuen Funktor ist die Einbettungseigenschaft nach Obigem äquivalent zur Injektivität von TOb.
Ist der Funktor
eine Einbettung, so bilden die Objekte
mit den Morphismen
, eine Unterkategorie von
, die mit
bezeichnet wird. Da das für beliebige Funktoren, die keine Einbettungen sind, im Allgemeinen nicht der Fall ist, spielen Einbettungen eine wichtige Rolle in der Kategorientheorie.
Volltreue Funktoren
Ist der Funktor
eine Einbettung, und ist T ein voller Funktor, so ist
eine volle Unterkategorie von
. Dies motiviert die Bezeichnung voller Funktor in obigen Definitionen. Ist also T ein volltreuer Funktor, so dass TOb injektiv ist, so definiert T eine Einbettung auf eine volle Unterkategorie.
Volltreue Funktoren sind auch wegen der folgenden Aussage wichtig für die Kategorientheorie:
- Seien
ein volltreuer Funktor und
ein Morphismus der Kategorie
. Dann gilt: f ist Isomorphismus
Tf ist Isomorphismus.
Die Richtung von links nach rechts ist sehr einfach. Ist nämlich f Isomorphismus, so gibt es definitionsgemäß einen weiteren Morphismus
mit fg = idY und gf = idX. Da T Funktor ist, folgt
und genauso
, das heißt, T(f) ist ein Isomorphismus.
Die Volltreue wird für die Umkehrung benötigt. Ist nämlich
ein Isomorphismus, so gibt es einen Morphismus
mit
und
. Da T voll ist, gibt es einen Morphismus
mit T(g) = w. Dann folgt
und genauso
. Wegen der Treue von T folgt nun fg = idY und gf = idX, das heißt, f ist ein Isomorphismus.
Literatur
- Horst Schubert: Kategorien I/II. Springer-Verlag, 1970.
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