Vorzeichenregel von Descartes

Die Vorzeichenregel von Descartes wird in der Mathematik - ähnlich wie die sturmsche Kette - benutzt, um die maximale Anzahl der positiven und negativen Nullstellen eines reellen Polynoms zu bestimmen.

Regel

Die Vorzeichenregel von Descartes lautet:

Die Anzahl aller positiven Nullstellen eines reellen Polynoms ist gleich der Zahl der Vorzeichenwechsel seiner Koeffizientenfolge oder um eine gerade natürliche Zahl kleiner als diese. Wobei jede Nullstelle ihrer Vielfachheit entsprechend gezählt wird.

Als wichtige Folgerung ergibt sich:

Wenn ein reelles Polynom nur einen Vorzeichenwechsel hat, dann hat es genau eine einfache positive Nullstelle.

Sie ist nach dem französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes benannt, der sie 1637 in seinem Werk La Géométrie als erster beschrieben hat.

Beispiele

Maximale Anzahl der positiven Nullstellen

Bei dem Polynom

$f(x) = 5 \cdot x^7 + 6 \cdot x^6 - 9 \cdot x^4 - 4 \cdot x^3 - 11 \cdot x^2 + 7 \cdot x - 3$

wechselt das Vorzeichen der Koeffizienten dreimal. Nach Descartes hat damit das Polynom f(x) 3 positive Nullstellen oder 3 – 2 = 1 positive Nullstelle. Tatsächlich hat das Polynom f(x) eine positive Nullstelle.

Maximale Anzahl der negativen Nullstellen

Um die maximale Anzahl der negativen Nullstellen zu bestimmen, wird zunächst aus dem Polynom f(x) ein neues Polynom f(-x) gebildet. Dies bedeutet, dass die Vorzeichen der Koeffizienten bei ungeradem Exponent geändert werden, während die Vorzeichen der Koeffizienten bei geradem Exponent unverändert bleiben. Auf dieses neue Polynom wird dann die Vorzeichenregel von Descartes angewandt.

Betrachtet man wieder das Polynom

$f(x) = 5 \cdot x^7 + 6 \cdot x^6 - 9 \cdot x^4 - 4 \cdot x^3 - 11 \cdot x^2 + 7 \cdot x - 3$

So lautet das neue Polynom

$f(-x) = - 5 \cdot x^7 + 6 \cdot x^6 - 9 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3 - 11 \cdot x^2 - 7 \cdot x - 3$

Hier wechselt das Vorzeichen der Koeffizienten viermal. Nach Descartes hat damit das Polynom f(x) entweder 4, 4 – 2 = 2 oder 4 – 4 = 0 negative Nullstellen. Tatsächlich hat das Polynom f(x) keine negative Nullstelle.

Literatur

• Bruce Anderson, Jeffrey Jackson, Meera Sitharam: Descartes’ Rule of Signs Revisited. In: American Mathematical Monthly, Jg. 105 (1998), S. 447-451, ISSN 0002-9890.
• David J. Grabiner: Descartes’ Rule of Signs. Another Construction. In: American Mathematical Monthly, Jg. 106 (1999), S. 854-855, ISSN 0002-9890.
• Henry S. Hall, Samuel R. Knight: Higher Algebra. A Sequel to Elementary Algebra for Schools. Maxford Books, New Delhi 2008, ISBN 81-8116-000-2, S. 450-460 (Nachdr. d. Ausg. London 1950).
• Peter Henrici: Sign Changes. The Rule of Descartes. In: Power Series-Integration-Conformal-Mapping-Location of Zeros (Applied and Computational Complex Analysis; Bd. 1). Wiley, New York 1988, ISBN 0-471-60841-6, S. 439-443.
• Ilia Itenberg, Marie-Françoise Roy: Multivariate Descartes’ Rule. In: Beiträge zur Algebra und Geometrie, Bd. 37 (1996), Nr. 2, S. 337-346.
• Oskar Perron: Algebra. De Gruyter, Berlin 1953, S. 17f. (Nachdr. d. Ausg. Berlin 1933).
• Dirk Struik (Hrsg.): A Source Book in Mathematics 1200-1800. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1986, ISBN 0-691-08404-1, S. 89-93.