Warshall-Algorithmus

Der Algorithmus von Floyd und Warshall (auch Floyd-Warshall-Algorithmus oder Tripel-Algorithmus), benannt nach Robert Floyd und Stephen Warshall, ist ein Algorithmus der Graphentheorie. Er findet die Länge der kürzesten Wege zwischen allen Paaren von Knoten eines gewichteten Graphen (engl. All Pairs Shortest Path Problem = APSP, oder auch: All Pairs Best Path Problem = APBP) in der Version Floyds oder die reflexive, transitive Hülle eines Graphen in der Version Warshalls. Beide Versionen wurden im Jahr 1962 vorgestellt und gehen eigentlich zurück auf einen Algorithmus, den Stephen Kleene im Jahr 1956 im Zusammenhang mit regulären Ausdrücken veröffentlicht hat.

Der Floyd-Warshall-Algorithmus basiert auf dem Prinzip der dynamischen Programmierung.

Der Floyd-Algorithmus geht von folgender Beobachtung aus:

Geht der kürzeste Weg von u nach v durch w, dann sind die enthaltenen Teilpfade von u nach w und von w nach v schon minimal. Nimmt man also an, man kennt schon die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren, die nur über Knoten mit Index kleiner als k führen und man sucht alle kürzesten Wege über Knoten mit Index kleiner oder gleich k, dann hat man für einen Pfad von u nach v zwei Möglichkeiten: Entweder er geht über den Knoten k, dann setzt er sich zusammen aus schon bekannten Pfaden von u nach k und von k nach v, oder es ist der schon bekannte Weg von u nach v über Knoten mit Index kleiner als k.

Angenommen der Graph ist gegeben durch seine Gewichtsmatrix w.

w[i,j] ist das Gewicht der Kante von i nach j, falls eine solche Kante existiert. Falls es keine Kante von i nach j gibt ist w[i,j] unendlich.

Dann kann man die Matrix d der kürzesten Distanzen durch folgendes Verfahren bestimmen:

Algorithmus von Floyd

(1) Für alle i,j : d[i,j] = w[i,j]
(2) Für k = 1 bis n
(3)    Für alle Paare i,j
(4)        d[i,j] = min (d[i,j],d[i,k] + d[k,j])

Will man die transitive Hülle berechnen, ändert man den Algorithmus folgendermaßen ab:

w ist die Adjazenzmatrix, das heißt w[i,j] ist 1 falls eine Kante von i nach j existiert, 0 falls keine Kante existiert.

Die Matrix d wird so berechnet, dass d[i,j] gleich 1, genau dann, wenn ein Pfad von i nach j existiert:

Algorithmus von Warshall

(1) Für k = 1 bis n
(2)   Für i = 1 bis n
(3)     Falls d[i,k] = 1
(4)       Für j = 1 bis n
(5)         Falls d[k,j] = 1 : d[i,j] = 1

In Zeile (5) wird d[i,j] auf 1 gesetzt, genau dann, wenn ein Pfad von i nach k und ein Pfad von k nach j über Kanten mit Index kleiner als k existiert.

Der Floyd-Algorithmus funktioniert auch, wenn die Kanten negatives Gewicht haben können, allerdings werden Zyklen mit negativer Länge (anders als beim Bellman-Ford-Algorithmus) nicht erkannt und führen zu einem falschen Ergebnis. Erkennbar werden negative Zyklen aber im Nachhinein durch negative Werte auf der Diagonalen der Distanzmatrix.

Die Laufzeit des Floyd-Warshall-Algorithmus ist O(n³), denn die Zeile (4) wird weniger als n³ mal ausgeführt, da die Zahl der Paare i,j quadratisch beschränkt ist.

Andere Verfahren zur Berechnung kürzester Pfade

• A*-Algorithmus
• Algorithmus von Dijkstra
• Bellman-Ford-Algorithmus

Literatur

• Robert W. Floyd: Algorithm 97 (SHORTEST PATH), in Communications of the ACM, 5(6), p. 345, 1962.
• Stephen Warshall: A Theorem on Boolean Matrices, in Journal of the ACM, 9(1), pp. 11-12, 1962.

Weblinks

• http://www.iti.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/graph/warshall.htm
• http://www-m9.ma.tum.de/twiki/bin/view/Allgemeines/FloydWarshallApplet Java-Applet an der Technischen Universität München
• Java-Applet zur Demonstration
• http://portal.acm.org/citation.cfm?id=368168&coll=portal&dl=ACM Robert W. Floyd: Algorithm 97 (SHORTEST PATH), in Communications of the ACM, 5(6), p. 345, 1962.