Wigner-Eckart-Theorem

Das Wigner-Eckart-Theorem (nach Eugene Paul Wigner und Carl Henry Eckart) ist ein Hilfsmittel für die Berechnung der Matrixelemente eines Tensoroperators, wenn dessen Symmetrieeigenschaften bekannt sind. Das Wigner-Eckart-Theorem darf nicht mit dem Wigner-Theorem verwechselt werden.

Für die definierenden Transformationseigenschaften eines Tensoroperators gilt:

$U^\dagger T_q^{(k)} U= \sum_{q'=-k}^k D_{qq'}^{(k)*} T_{q'}^{(k)}$

wobei U die unitäre Gruppentransformationsmatrix und $D_{qq'}^{(k)}$ eine irreduzible Darstellung dieser Gruppe in der Basis | α,jm > ist.

Theorem: Das Matrixelement eines Tensoroperators ausgedrückt in den Eigenzuständen des Drehimpulsoperators erfüllt folgende Gleichung:

$\langle\alpha', j'm'|T_q^{(k)}|\alpha, jm\rangle = \langle jk; mq|j'm'\rangle\frac{\langle\alpha'j'\|T^{(k)}\|\alpha j\rangle}{\sqrt{2j+1}}$

wobei das reduzierte Matrixelement (gekennzeichnet durch die 2 Striche beiderseits von T^(k)) unabhängig von m und m' sowie q ist. Darin besteht auch der Vorzug, denn dieses von m und m' unabhängige Matrixelement wird ein Mal berechnet und ist dann für alle anderen Matrixelemente gleich und ermöglicht somit eine einfache Berechnung beliebiger Matrixelemente.

Hierbei ist T^(k) ein Tensor des Rangs k, j der Gesamtdrehimpuls, m die zugehörige magnetische Quantenzahl und α alle weiteren zur Beschreibung des Systems nötigen Quantenzahlen des Zustandes.

Für Rotationssymmetrie sind die $\langle jk; mq|j'm'\rangle$ die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

Beweis des Theorems (Drehgruppe)

Das Wigner-Eckart-Theorem hängt mit dem Lemma von Schur zusammen. Wenn man dies ausnutzt, sind längere Rechnungen für den Beweis nicht erforderlich.

Um die Clebsch-Gordan-Koeffizienten ins Spiel zu bringen, betrachtet man den folgenden, nur für diesen Zweck konstruierten Operator^[1]:

$W = \sum_{np} T^{(k)}_p |\alpha jn\rangle \langle jk; np|$

Er transformiert Zustände mit zwei Drehimpulsen (j und k) in Zustände mit einem einzelnen Drehimpuls, auf welche Tensoroperatoren wirken. Im Zielraum sind Drehungen durch einen unitären Operator U₁ dargestellt, im Urbildraum durch einen unitären Operator U₂. Die wesentliche Eigenschaft von W ist das Vertauschen mit Drehungen bzw. die Invarianz unter Drehungen:

$U_1 W = W U_2 \,\!$

Dies beruht auf dem gleichartigen Verhalten von Tensoroperatoren und Drehimpulszuständen unter Drehungen. Konkret sieht man die Invarianz am einfachsten, indem man den Ausdruck

$\sum_{np}\sum_{n'p'} T^{(k)}_p |\alpha jn\rangle D^{(k)}_{pp'} D^{(j)}_{nn'} \langle jk; n'p'|$

einmal durch Summation über $np\,\!$ auswertet, was $U_1 W \,\!$ ergibt, und einmal durch Summation über $n'p'\,\!$, was $W U_2 \,\!$ ergibt. Dabei wird benutzt, dass auch die Drehmatrizen unitär sind.

Wegen der Drehinvarianz von W werden Teilräume, die unter U₂ irreduzibel sind, in Teilräume transformiert, die unter U₁ irreduzibel sind. Bei der Drehgruppe sind diese Teilräume durch eine Drehimpulsquantenzahl J charakterisiert. Nach dem Schurschen Lemma gilt nun:

• Die Teile von W, die zwischen verschiedenen J (inäquivalenten irreduziblen Darstellungen) vermitteln, sind null.
• Die Teile von W, die zwischen gleichen J (äquivalenten irreduziblen Darstellungen mit gleichen Darstellungsmatrizen) vermitteln, sind Vielfache der Eins-Abbildung.

Dass die Darstellungsmatrizen für gleiche Drehimpulse tatsächlich immer gleich sind, beruht auf der Verwendung der Standard-Basisvektoren $|jm\rangle$. Der hier gegebene Beweis gilt deswegen nur für die Drehgruppe.

Wenn das jeweilige Vielfache mit einem Faktor $\lambda \,\!$ bezeichnet wird, der von den verknüpften Teilräumen abhängig ist, hat W nach dem Schurschen Lemma somit folgende Form:

$W = \sum_{\alpha'J} \sum_M \lambda_{\alpha jk\alpha'J} |\alpha'JM\rangle \langle JM|$

Die Summe über M stellt die Eins-Abbildung zwischen zwei irreduziblen Teilräumen dar. Im Bra-Vektor fehlt der Entartungsindex, weil es bei Drehimpulskopplung (im Urbildraum von W) keine Entartung gibt. Die Indizes αjk bringen zum Ausdruck, dass die gesamte Konstruktion des Operators W von ihnen abhängt.

Um den Beweis abzuschließen, bildet man nun das Matrixelement $\langle \alpha' j' m' | W | jk; mq\rangle$ mit den beiden Ausdrücken für W, nutzt die Orthonormalität der Basisvektoren aus und identifiziert das jeweilige $\lambda\,\!$ mit $\langle\alpha'j'\| T^{(k)} \|\alpha j\rangle / \sqrt{2j+1}$.

Einzelnachweise

1. ↑ Albert Messiah: Quantenmechanik. Band 2. De Gruyter, 1985, Abschnitt 13.6.3

Literatur

• C. Eckart: The Application of Group Theory to the Quantum Dynamics of Monatomic Systems. In: Rev. Mod. Phys. 2, 1930, S. 305-380.
• J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley, 1994, S. 239-240.
• E. P. Wigner: Einige Folgerungen aus der Schrödingerschen Theorie für die Termstrukturen. In: Z. Physik 43, 1927, S. 624-652.