- Wigner-Eckart-Theorem
-
Das Wigner-Eckart-Theorem (nach Eugene Paul Wigner und Carl Henry Eckart) ist ein Hilfsmittel für die Berechnung der Matrixelemente eines Tensoroperators, wenn dessen Symmetrieeigenschaften bekannt sind. Das Wigner-Eckart-Theorem darf nicht mit dem Wigner-Theorem verwechselt werden.
Für die definierenden Transformationseigenschaften eines Tensoroperators gilt:
wobei U die unitäre Gruppentransformationsmatrix und
eine irreduzible Darstellung dieser Gruppe in der Basis | α,jm > ist.
Theorem: Das Matrixelement eines Tensoroperators ausgedrückt in den Eigenzuständen des Drehimpulsoperators erfüllt folgende Gleichung:
wobei das reduzierte Matrixelement (gekennzeichnet durch die 2 Striche beiderseits von T(k)) unabhängig von m und m' sowie q ist. Darin besteht auch der Vorzug, denn dieses von m und m' unabhängige Matrixelement wird ein Mal berechnet und ist dann für alle anderen Matrixelemente gleich und ermöglicht somit eine einfache Berechnung beliebiger Matrixelemente.
Hierbei ist T(k) ein Tensor des Rangs k, j der Gesamtdrehimpuls, m die zugehörige magnetische Quantenzahl und α alle weiteren zur Beschreibung des Systems nötigen Quantenzahlen des Zustandes.
Für Rotationssymmetrie sind die
die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.
Beweis des Theorems (Drehgruppe)
Das Wigner-Eckart-Theorem hängt mit dem Lemma von Schur zusammen. Wenn man dies ausnutzt, sind längere Rechnungen für den Beweis nicht erforderlich.
Um die Clebsch-Gordan-Koeffizienten ins Spiel zu bringen, betrachtet man den folgenden, nur für diesen Zweck konstruierten Operator[1]:
Er transformiert Zustände mit zwei Drehimpulsen (j und k) in Zustände mit einem einzelnen Drehimpuls, auf welche Tensoroperatoren wirken. Im Zielraum sind Drehungen durch einen unitären Operator U1 dargestellt, im Urbildraum durch einen unitären Operator U2. Die wesentliche Eigenschaft von W ist das Vertauschen mit Drehungen bzw. die Invarianz unter Drehungen:
Dies beruht auf dem gleichartigen Verhalten von Tensoroperatoren und Drehimpulszuständen unter Drehungen. Konkret sieht man die Invarianz am einfachsten, indem man den Ausdruck
einmal durch Summation über
auswertet, was
ergibt, und einmal durch Summation über
, was
ergibt. Dabei wird benutzt, dass auch die Drehmatrizen unitär sind.
Wegen der Drehinvarianz von W werden Teilräume, die unter U2 irreduzibel sind, in Teilräume transformiert, die unter U1 irreduzibel sind. Bei der Drehgruppe sind diese Teilräume durch eine Drehimpulsquantenzahl J charakterisiert. Nach dem Schurschen Lemma gilt nun:
- Die Teile von W, die zwischen verschiedenen J (inäquivalenten irreduziblen Darstellungen) vermitteln, sind null.
- Die Teile von W, die zwischen gleichen J (äquivalenten irreduziblen Darstellungen mit gleichen Darstellungsmatrizen) vermitteln, sind Vielfache der Eins-Abbildung.
Dass die Darstellungsmatrizen für gleiche Drehimpulse tatsächlich immer gleich sind, beruht auf der Verwendung der Standard-Basisvektoren
. Der hier gegebene Beweis gilt deswegen nur für die Drehgruppe.
Wenn das jeweilige Vielfache mit einem Faktor
bezeichnet wird, der von den verknüpften Teilräumen abhängig ist, hat W nach dem Schurschen Lemma somit folgende Form:
Die Summe über M stellt die Eins-Abbildung zwischen zwei irreduziblen Teilräumen dar. Im Bra-Vektor fehlt der Entartungsindex, weil es bei Drehimpulskopplung (im Urbildraum von W) keine Entartung gibt. Die Indizes αjk bringen zum Ausdruck, dass die gesamte Konstruktion des Operators W von ihnen abhängt.
Um den Beweis abzuschließen, bildet man nun das Matrixelement
mit den beiden Ausdrücken für W, nutzt die Orthonormalität der Basisvektoren aus und identifiziert das jeweilige
mit
.
Einzelnachweise
- ↑ Albert Messiah: Quantenmechanik. Band 2. De Gruyter, 1985, Abschnitt 13.6.3
Literatur
- C. Eckart: The Application of Group Theory to the Quantum Dynamics of Monatomic Systems. In: Rev. Mod. Phys. 2, 1930, S. 305-380.
- J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley, 1994, S. 239-240.
- E. P. Wigner: Einige Folgerungen aus der Schrödingerschen Theorie für die Termstrukturen. In: Z. Physik 43, 1927, S. 624-652.
Wikimedia Foundation.