Lemma von Schur

Lemma von Schur

Das Lemma von Schur, benannt nach Issai Schur, beschreibt die Homomorphismen zwischen einfachen Moduln. Es besagt, dass jeder solche Homomorphismus außer dem Nullhomomorphismus ein Isomorphismus ist.

Das Lemma von Schur in der modultheoretischen Fassung lautet (R sei ein Ring mit 1):

Es seien M, N einfache R-Linksmoduln. Dann gilt:

  1.  M \not\cong N \Rightarrow Hom_R(M,N)=0
  2. EndR(M) ist ein Schiefkörper.

In der darstellungstheoretischen Fassung lautet das Lemma von Schur (G sei eine endliche Gruppe, K ein Körper):

Es seien \rho : \  G \rightarrow GL_K(V), \tau : \ G \rightarrow GL_K(W) irreduzible Darstellungen von G. Dann gilt:

  1. Es sei  f \in Hom_K(V,W) mit f \circ \rho (g)=\tau (g) \circ f \  , \  \forall g \in G . Dann gilt: f=0 oder f ist bijektiv (und in diesem Fall sind ρ und τ äquivalent).
  2. Z(ρ) ist ein Schiefkörper.

Die Aussage 2. gilt auch in der Umkehrung, so dass Z(ρ) ein Schiefkörper ist, genau dann wenn die Darstellung ρ irreduzibel ist.

Aufgrund des Zusammenhangs von Darstellungen von G über K und KG-Moduln besagen beide Fassungen das gleiche.

Spezialfall: Matrixdarstellungen

Hier reduzieren sich die Beweise auf elementare lineare Algebra [1]. Es seien ρ(g) invertierbare n\times n-Matrizen, τ(g) invertierbare m\times m-Matrizen, und es sei f eine m\times n-Matrix. Für die Matrixprodukte gelte

  
        f \, \rho(g) = \tau(g)\, f \qquad \forall g\in G

Dann ist der Kern von f ein invarianter Teilraum für die Darstellung ρ(g), denn aus fv = 0 folgt fρ(g)v = 0. Wegen der Irreduzibilität von ρ kann \operatorname{Kern}\,f nur der Nullraum oder der ganze Vektorraum sein. Im ersten Fall ist f invertierbar und vermittelt eine Ähnlichkeitstransformation zwischen den Darstellungsmatrizen ρ und τ. Im zweiten Fall ist f die Nullmatrix.

Für praktische Zwecke (Tabellierung) werden die Matrizen einer irreduziblen Darstellung gelegentlich standardisiert. Z. B. dienen bei der Drehgruppe die gemeinsamen Eigenvektoren von Drehungen um eine ausgewählte Achse als Standardbasis. In solchen Fällen sind die Matrizen von irreduziblen Darstellungen ρ(g) und τ(g) entweder inäquivalent oder identisch. Damit wird folgender Zusatz zum Schurschen Lemma relevant:

Aus  f \rho(g) = \,\! \rho(g) f für alle  g\in G folgt f = \lambda\,\boldsymbol{1}, d.h. f ist ein komplexes Vielfaches der Einheitsmatrix.

Beweis: Es sei \lambda\,\! ein (komplexer) Eigenwert von f, und e\,\! sei der zugehörige Eigenvektor. Mit der vorausgesetzten Gleichung gilt auch

  
        (f-\lambda\boldsymbol{1}) \, \rho(g) = \rho(g)\,(f-\lambda\boldsymbol{1}) 
         \qquad \forall g\in G

Daher ist der Kern von f-\lambda\boldsymbol{1} ein invarianter Teilraum der Darstellung ρ(g) und kann wegen Irreduzibilität nur der Nullraum oder der ganze Raum sein. Da der Eigenvektor e \neq 0 zum Kern gehört, bleibt nur die zweite Möglichkeit. Also gilt  f-\lambda\boldsymbol{1} = 0.

Einzelnachweise

  1. M. Chaichian, R. Hagedorn, Symmetries in quantum mechanics: from angular momentum to supersymmetry, Institute of Physics Publishing, Bristol 1998

Siehe auch


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Schur-Faktorisierung — In der Linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Schur Zerlegung (oder auch Schursche Normalform genannt) eine wichtige Matrix Zerlegung, genauer ein Trigonalisierungsverfahren. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Issai Schur.… …   Deutsch Wikipedia

  • Schur-Normalform — In der Linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Schur Zerlegung (oder auch Schursche Normalform genannt) eine wichtige Matrix Zerlegung, genauer ein Trigonalisierungsverfahren. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Issai Schur.… …   Deutsch Wikipedia

  • Schur-Zerlegung — In der Linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Schur Zerlegung (oder auch Schursche Normalform genannt) eine wichtige Matrix Zerlegung, genauer ein Trigonalisierungsverfahren. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Issai Schur.… …   Deutsch Wikipedia

  • Schursches Lemma — Das Lemma von Schur, benannt nach Issai Schur, beschreibt die Homomorphismen zwischen irreduziblen Moduln. Es besagt, dass jeder solche Homomorphismus außer dem Nullhomomorphismus ein Isomorphismus ist. Das Lemma von Schur in der… …   Deutsch Wikipedia

  • Issai Schur — Issai Schur[1] (* 10. Januar 1875 in Mogiljow; † 10. Januar 1941 in Tel Aviv) war ein Mathematiker, der die meiste Zeit seines Lebens in Deutschland arbeitete. Als Student von Frobenius arbeitete er über Darstellungstheorie von Gruppen, aber auch …   Deutsch Wikipedia

  • Stone–von Neumann theorem — In mathematics and in theoretical physics, the Stone–von Neumann theorem is any one of a number of different formulations of the uniqueness of the canonical commutation relations between position and momentum operators. The name is for Marshall… …   Wikipedia

  • Liste mathematischer Sätze — Inhaltsverzeichnis A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A Satz von Abel Ruffini: eine allgemeine Polynomgleichung vom …   Deutsch Wikipedia

  • Schurform — In der Linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Schur Zerlegung (oder auch Schursche Normalform genannt) eine wichtige Matrix Zerlegung, genauer ein Trigonalisierungsverfahren. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Issai Schur.… …   Deutsch Wikipedia

  • Schursche Normalform — In der Linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Schur Zerlegung (oder auch Schursche Normalform genannt) eine wichtige Matrix Zerlegung, genauer ein Trigonalisierungsverfahren. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Issai Schur.… …   Deutsch Wikipedia

  • Schurzerlegung — Als Schur Zerlegung oder Schursche Normalform (nach Issai Schur) bezeichnet man in der Linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Matrix Zerlegung, genauer ein Trigonalisierungsverfahren. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”