Z-Statistik

Die Z-Statistik nach Vuong stellt eine Weiterentwicklung der Informationskriterien dar. Diese Statistik trifft wahrscheinlichkeitstheoretische Aussagen über die Modelle.

Theoretische Verfahrensweise

Die Z-Statistik testet die Nullhypothese, dass zwei Modelle – egal ob diese hierarchisch, nicht-hierarchisch oder überlappend sind – gleich nahe an der wahren Verteilung liegen gegen die Gegenhypothese, dass ein Modell näher daran liegt. Sie trifft aber keine Aussage, dass das bessere Modell auch wirklich das wahre Modell ist. Unter der Annahme nicht-hierarchischer sowie identisch und unabhängig verteilter erklärender Variablen wird Modell 1 (2) auf dem Signifikanzniveau α bevorzugt, wenn die Testgröße

$Z=\frac{LR_N(\beta_{ML,1},\beta_{ML,2})} {\sqrt{N}\omega_N}$ mit ${LR_N(\beta_{ML,1},\beta_{ML,2})}=L^1_N-L^2_N-\frac{K_1-K_2} {2} log N$

das (negative) (1 − α)-Quantil der Standardnormalverteilung überschreitet [unterschreitet]. Die Zählergröße ist die analog zum BIC um die Zahl der Koeffizienten korrigierte Differenz der maximalen Log-Likelihoods der beiden Modellschätzungen, die Nennergröße $\sqrt{N}\omega_N$ entspricht der Summe der Quadrate von $l_i=f_1(y_1|x_i,\beta_{ML,1})/f_2(y_1|x_i,\beta_{ML,2})\,$.

Bei hierarchischen und überlappenden Modellen wird die Teststatistik $2LR_N(\beta_{ML,1}),\beta_{ML,2})\,$ mit entsprechenden kritischen Größen aus einer gewichteten Summe von Chi-Quadrat-Verteilungen verglichen. Diese kann mittels einer Gammaverteilung approximiert werden: $M_m(.,\bold\lambda)\sim \Gamma(b,p)\,$ mit $\bold\lambda=(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m)\,$, $m=K_1+K_2\,$, $b=\frac 1 2 \frac {\sum\lambda_i} {\sum\lambda_i^2}$ und $\frac 1 2 \frac {{(\sum\lambda_i)}^2} {\sum\lambda_i^2}$.

$\bold\lambda$ ist der Vektor der Eigenwerte einer Matrix bedingter Erwartungswerte. Dessen Herleitung ist jedoch recht schwierig, so dass Aussagen im überlappenden Fall meist nur aufgrund subjektiv ausreichend großer Werte getroffen werden.

Siehe auch

• F-Test
• T-Test

Literatur

Vuong, Quang H. (1989): Likelihood Ratio Tests for Model Selection and non-nested Hypothesises, in: Econometrica, Vol. 57, Iss. 2, 1989, Seite 307-333.