Gammaverteilung

Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie verwendet

in der Warteschlangentheorie, um die Bedienzeiten oder Reparaturzeiten zu beschreiben.
in der Versicherungsmathematik zur Modellierung kleinerer bis mittlerer Schäden.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 Alternative Parametrisierung
2 Eigenschaften
3 Beziehung zu anderen Verteilungen
4 Literatur
5 Weblinks

Definition

Die Gammaverteilung $\gamma(p,\, b)$ ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x)=\begin{cases} \frac{\displaystyle b^p}{\displaystyle\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-bx} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$ definiert. Sie besitzt die reellen Parameter $b$ und $p$ . Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird $b > 0$ und $p > 0$ gefordert. Der Vorfaktor $b p / Γ(p)$ dient der korrekten Normierung; der Ausdruck $Γ(p)$ steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.
Die Gammaverteilung genügt damit der Verteilungsfunktion $F(x)=\begin{cases} P(p,b x) & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$ , wobei $P(p,\,b x)$ die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist.

Alternative Parametrisierung

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit $p$ und $b$ findet man auch häufig

(α = p,β = b)

oder $(k=p, \theta=\frac{1}{b}).$

$β = b$ ist die Umkehrung eines Skalierparameters und $θ = 1 / b$ ist der Skalierparameter selber. Dichte und Momente ändern sich dementsprechend bei diesen Parametrisierungen (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise $α / β$ beziehungsweise $k θ$ ). Da diese Parametrisierungen im angelsächsischen Raum vorherrschen, werden sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert $p / b$ und Varianz $p / b 2$ zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

Eigenschaften

$f$ besitzt an der Stelle $x_M=\tfrac{p-1}{b}$ ihr Maximum und an den Stellen

$x_W=x_M\pm \frac{(p-1)^\frac12}{b}$

Wendepunkte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist

$\operatorname{E}(X)={p \over b}.$

Varianz

Die Varianz der Gammaverteilung ist

$\operatorname{Var}(X)={p \over b^2}.$

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch

$\operatorname{v}(X) = \frac{2}{\sqrt{p}}.$

Reproduktivität

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen $X$ und $Y$ , die beide gammaverteilt sind mit den Parametern $b$ und $p x$ bzw. $p y$ , ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern $b$ und $p x + p y$ .

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

$\phi_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-is}\right)^p.$

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist

$m_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-s}\right)^p.$

Summe gammaverteilter Zufallsgrößen

Sind $X 1 \simγ(p 1, b)$ und $X 2 \simγ(p 2, b)$ unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch die Summe $X 1 + X 2$ gammaverteilt, und zwar

X 1 + X 2 \simγ(p 1 + p 2, b).

Allgemein gilt: Sind $X_i\sim \gamma(p_i,b)\quad i=1,\ldots,n$ stochastisch unabhängig dann ist

X 1 + ... + X n \simγ(p 1 + ... + p n, b).

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Betaverteilung

Wenn die Zufallsvariablen $X$ mit $γ(a 1, b)$ und $Y$ mit $γ(a 2, b)$ Gamma-verteilt sind mit den Parametern $a 1, a 2$ und $b$ , dann ist die Größe $\tfrac{X}{X+Y}$ Beta-verteilt mit

$B(a_1,a_2) = \frac{\gamma(a_1,b)}{\gamma(a_1,b)+\gamma(a_2,b)}.$

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung mit $k$ Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern $p = k / 2$ und $b = 1 / 2$ .

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter $g$ und $n$ Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern $p = n$ und $b = g$ und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des $p$ -ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignisses.

Beziehung zur Exponentialverteilung

Wählt man in der Gammaverteilung den Parameter $p = 1$ , so erhält man die Exponentialverteilung mit Parameter $g = b$ .
Die Faltung von n Exponentialverteilungen mit demselben $g$ ergibt eine Gamma-Verteilung mit $p = n, b = g$ .

Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung

Ist $X$ Gamma-verteilt, dann ist $Y = e X$ Log-Gamma-verteilt.

Literatur

Lindgren, Bernard W.: Statistical Theory, New York etc., 1993
Fisz, Marek: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Berlin 1970
P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik, Leipzig 1991

Weblinks

siehe auch Lévy-Prozess, mit Bild von einem Gamma-Prozess
Interaktives Applet der Universität Konstanz zum Darstellen der Gammaverteilung: http://www.uni-konstanz.de/FuF/wiwi/heiler/os/vt-gamma.html
Gerechnete Beweise: http://www.eisber.net/StatWiki/index.php/WS2_Zettel1#Gamma-Verteilung

Diskrete univariate Verteilungen

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