Gammaverteilung

Gammaverteilung

Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie verwendet

Inhaltsverzeichnis

Definition

Die Gammaverteilung \gamma(p,\, b) ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte
f(x)=\begin{cases}
               \frac{\displaystyle b^p}{\displaystyle\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-bx} & x\geq 0 \\
               0                                                              & x < 0
            \end{cases}

definiert. Sie besitzt die reellen Parameter b und p. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird b > 0 und p > 0 gefordert.

Der Vorfaktor bp / Γ(p) dient der korrekten Normierung; der Ausdruck Γ(p) steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.

Dichte der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für b und p
Die Gammaverteilung genügt damit der Verteilungsfunktion
F(x)=\begin{cases}
               P(p,b x) & x\geq 0 \\
               0        & x < 0             
            \end{cases},

wobei P(p,\,b x) die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist.

kumulierte Verteilungsfunktion der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für p und b

Alternative Parametrisierung

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit p und b findet man auch häufig

(α = p,β = b) oder (k=p, \theta=\frac{1}{b}).

β = b ist die Umkehrung eines Skalierparameters und θ = 1 / b ist der Skalierparameter selber. Dichte und Momente ändern sich dementsprechend bei diesen Parametrisierungen (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise α / β beziehungsweise kθ). Da diese Parametrisierungen im angelsächsischen Raum vorherrschen, werden sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert p / b und Varianz p / b2 zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

Eigenschaften

f besitzt an der Stelle x_M=\tfrac{p-1}{b} ihr Maximum und an den Stellen

x_W=x_M\pm \frac{(p-1)^\frac12}{b}

Wendepunkte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist

\operatorname{E}(X)={p \over b}.

Varianz

Die Varianz der Gammaverteilung ist

\operatorname{Var}(X)={p \over b^2}.

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch

\operatorname{v}(X) = \frac{2}{\sqrt{p}}.

Reproduktivität

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen X und Y, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern b und px bzw. py, ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern b und px + py.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

\phi_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-is}\right)^p.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist

m_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-s}\right)^p.

Summe gammaverteilter Zufallsgrößen

Sind X1∼γ(p1,b) und X2∼γ(p2,b) unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch die Summe X1 + X2 gammaverteilt, und zwar

X1 + X2∼γ(p1 + p2,b).

Allgemein gilt: Sind X_i\sim \gamma(p_i,b)\quad i=1,\ldots,n stochastisch unabhängig dann ist

X1 + ... + Xn∼γ(p1 + ... + pn,b).

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Betaverteilung

Wenn die Zufallsvariablen X mit γ(a1,b)und Y mit γ(a2,b) Gamma-verteilt sind mit den Parametern a1,a2 und b, dann ist die Größe \tfrac{X}{X+Y} Beta-verteilt mit

B(a_1,a_2) = \frac{\gamma(a_1,b)}{\gamma(a_1,b)+\gamma(a_2,b)}.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

  • Die Chi-Quadrat-Verteilung mit k Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern p = k / 2 und b = 1 / 2.

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter g und n Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern p = n und b = g und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des p-ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignisses.

Beziehung zur Exponentialverteilung

  • Wählt man in der Gammaverteilung den Parameter p = 1, so erhält man die Exponentialverteilung mit Parameter g = b.
  • Die Faltung von n Exponentialverteilungen mit demselben g ergibt eine Gamma-Verteilung mit p = n,b = g.

Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung

Ist X Gamma-verteilt, dann ist Y = eX Log-Gamma-verteilt.

Literatur

  • Lindgren, Bernard W.: Statistical Theory, New York etc., 1993
  • Fisz, Marek: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Berlin 1970
  • P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik, Leipzig 1991

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Gammaverteilung — Gạmmaverteilung,   Stochastik: die Verteilung einer Zufallsgröße X, deren Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte) durch   gegeben ist; hierbei sind a > 0 und p > 0 Parameter, Γ ist die Gammafunktion. Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist …   Universal-Lexikon

  • Log-Gammaverteilung — Die Logarithmische Gammaverteilung (auch Log Gammaverteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im extremen Großschadenbereich der Industrie , Haftpflicht , Rückversicherung.… …   Deutsch Wikipedia

  • Logarithmische Gammaverteilung — Die Logarithmische Gammaverteilung (auch Log Gammaverteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im extremen Großschadenbereich der Industrie , Haftpflicht , Rückversicherung.… …   Deutsch Wikipedia

  • Gamma-Verteilung — Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang …   Deutsch Wikipedia

  • Diskrete Verteilung — In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Zufallsergebnisse, insbesondere die möglichen Werte einer Zufallsvariable, verteilen. Die… …   Deutsch Wikipedia

  • Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung — In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Zufallsergebnisse, insbesondere die möglichen Werte einer Zufallsvariable, verteilen. Die… …   Deutsch Wikipedia

  • Klasse von Verteilungen — In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Zufallsergebnisse, insbesondere die möglichen Werte einer Zufallsvariable, verteilen. Die… …   Deutsch Wikipedia

  • Kumulative Verteilungsfunktion — In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Zufallsergebnisse, insbesondere die möglichen Werte einer Zufallsvariable, verteilen. Die… …   Deutsch Wikipedia

  • Statistisches Modell — In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Zufallsergebnisse, insbesondere die möglichen Werte einer Zufallsvariable, verteilen. Die… …   Deutsch Wikipedia

  • Stetige Verteilung — In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Zufallsergebnisse, insbesondere die möglichen Werte einer Zufallsvariable, verteilen. Die… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”