- Gammaverteilung
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Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie verwendet
- in der Warteschlangentheorie, um die Bedienzeiten oder Reparaturzeiten zu beschreiben.
- in der Versicherungsmathematik zur Modellierung kleinerer bis mittlerer Schäden.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Die Gammaverteilung ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte
definiert. Sie besitzt die reellen Parameter b und p. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird b > 0 und p > 0 gefordert.
Der Vorfaktor bp / Γ(p) dient der korrekten Normierung; der Ausdruck Γ(p) steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.
Die Gammaverteilung genügt damit der Verteilungsfunktion ,
wobei
die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist.
Alternative Parametrisierung
Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit p und b findet man auch häufig
- (α = p,β = b) oder
β = b ist die Umkehrung eines Skalierparameters und θ = 1 / b ist der Skalierparameter selber. Dichte und Momente ändern sich dementsprechend bei diesen Parametrisierungen (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise α / β beziehungsweise kθ). Da diese Parametrisierungen im angelsächsischen Raum vorherrschen, werden sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert p / b und Varianz p / b2 zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.
Eigenschaften
f besitzt an der Stelle
ihr Maximum und an den Stellen
Wendepunkte.
Erwartungswert
Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist
Varianz
Die Varianz der Gammaverteilung ist
Schiefe
Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch
Reproduktivität
Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen X und Y, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern b und px bzw. py, ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern b und px + py.
Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion hat die Form
Momenterzeugende Funktion
Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist
Summe gammaverteilter Zufallsgrößen
Sind X1∼γ(p1,b) und X2∼γ(p2,b) unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch die Summe X1 + X2 gammaverteilt, und zwar
- X1 + X2∼γ(p1 + p2,b).
Allgemein gilt: Sind
stochastisch unabhängig dann ist
- X1 + ... + Xn∼γ(p1 + ... + pn,b).
Beziehung zu anderen Verteilungen
Beziehung zur Betaverteilung
Wenn die Zufallsvariablen X mit γ(a1,b)und Y mit γ(a2,b) Gamma-verteilt sind mit den Parametern a1,a2 und b, dann ist die Größe
Beta-verteilt mit
Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung
- Die Chi-Quadrat-Verteilung mit k Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern p = k / 2 und b = 1 / 2.
Beziehung zur Erlang-Verteilung
Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter g und n Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern p = n und b = g und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des p-ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignisses.
Beziehung zur Exponentialverteilung
- Wählt man in der Gammaverteilung den Parameter p = 1, so erhält man die Exponentialverteilung mit Parameter g = b.
- Die Faltung von n Exponentialverteilungen mit demselben g ergibt eine Gamma-Verteilung mit p = n,b = g.
Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung
Ist X Gamma-verteilt, dann ist Y = eX Log-Gamma-verteilt.
Literatur
- Lindgren, Bernard W.: Statistical Theory, New York etc., 1993
- Fisz, Marek: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Berlin 1970
- P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik, Leipzig 1991
Weblinks
- siehe auch Lévy-Prozess, mit Bild von einem Gamma-Prozess
- Interaktives Applet der Universität Konstanz zum Darstellen der Gammaverteilung: http://www.uni-konstanz.de/FuF/wiwi/heiler/os/vt-gamma.html
- Gerechnete Beweise: http://www.eisber.net/StatWiki/index.php/WS2_Zettel1#Gamma-Verteilung
Diskrete univariate VerteilungenDiskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-MandelbrotDiskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta
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