Zehnerpotenzen

Zehnerpotenzen

Zehnerpotenzen (vereinzelt, vor allem in der Schulmathematik, auch Stufenzahlen) sind ganzzahlige Potenzen mit der Basis (Grundzahl) 10 und einem beliebigen, ganzzahligen Exponenten (Hochzahl). Ihre Potenzschreibweise lautet dann etwa 10n mit einer natürlichen Zahl n.

Inhaltsverzeichnis

Die Zehnerpotenzen

Alle Zehnerpotenzen haben eigene Zahlennamen:

1,\ 100,\ 1000,\ 10\, 000,\ 100\, 000,\ \ldots
In Exponentialschreibweise: 1 \cdot 10^n ,\, n = 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots  mit positivem Exponent
\mathrm{Zehn,\ Hundert,\ Tausend,\ Zehntausend,\ Hunderttausend,\ \ldots}

Und dasselbe mit negativen Exponenten:

1,\ 0{,}1,\ 0{,}01,\ 0{,}001,\ 0{,}0001,\ \ldots
In Exponentialschreibweise: 1 \cdot 10^{n},\ n = 0,\ - 1,\ - 2,\ - 3,\ - 4,\ \ldots
\mathrm{Zehntel,\ Hunderstel,\ Tausendstel,\ Zehntausendstel,\ Hunderttausendstel,\ \ldots}

Verwendung

Hertzsprung-Russell-Diagramm. Abszisse: Farbindex der Sterne, Ordinate: Leuchtkraft (Sonne = 1) in Zehnerpotenzen

Da unser übliches Zahlensystem, das Dezimalsystem (zu lat. decimus „der Zehnte“), auf Zehnerpotenzen beruht, sind sie geeignet, auch sehr große und sehr kleine Zahlen kompakt zu schreiben. Sie bilden die Grundlage der wissenschaftlichen Schreibweise (kurz SCI für englisch scientific), die die Zahlen auf vorgestellte Mantisse und Exponent der Basis 10 reduzieren kann.

Dazu als Beispiele:

4711 = 4{,}711 \cdot 10^3
4\, 711\, 000 = 4{,}711 \cdot 10^6 = 4{,}711\ \mathrm{Millionen}
0{,}000001414 = 1414 \cdot 10^{- 9} = 1{,}414 \cdot 10^{- 6} = 1{,}414\ \mathrm{Millionstel}

Der Exponent gibt dabei immer die Zahl der Nullen an, wenn dort 10 hoch sechs (106) steht, dann ist es also eine Million.

Auch die Achsen von Diagrammen werden oft nicht linear, sondern in Zehnerpotenzen als logarithmische Skala geteilt, wenn es um sehr große Wertebereiche geht. Ein Beispiel aus der Astronomie – die man ja mit „astronomisch großen Zahlen“ assoziiert – ist das Hertzsprung-Russell-Diagramm, das im nebenstehenden Bild auf der Ordinate eine Skala von 0,00001 bis 100.000 Einheiten der Sonnen-Leuchtkraft L0 zeigt. Dann liegt aber z. B. in der Mitte zwischen 10 und 100 L0 nicht der Wert 20 oder 50 – sondern 31,63 L0. Dieser Wert ist nicht das arithmetische – sondern das quadratische Mittel von 10 und 100, d. h. die Wurzel aus 1000 bzw. 101,5.

Rechnen mit Zehnerpotenzen

Es gibt einige einfache Rechenregeln für das Rechnen mit Zehnerpotenzen:

  • Multipliziert man eine natürliche Zahl mit einer Stufenzahl, so werden die Nullen der Stufenzahl an die natürliche Zahl angehängt.
  • Multipliziert man einen Dezimalbruch mit einer Stufenzahl, so rückt das Komma um so viele Stellen nach rechts, wie die Stufenzahl Nullen hat.
  • Dividiert man einen Dezimalbruch durch eine Stufenzahl, so rückt das Komma um so viele Stellen nach links, wie die Stufenzahl Nullen hat.

Zehnerpotenzen und SI-Präfixe

Für Maßeinheiten definiert das Internationale Einheitensystem entsprechende Vorsilben:

SI-Präfixe
Name Yotta Zetta Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka
Symbol Y Z E P T G M k h da
Faktor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101
Name Yokto Zepto Atto Femto Piko Nano Mikro Milli Zenti Dezi
Symbol y z a f p n µ m c d
Faktor 10−24 10−21 10−18 10−15 10−12 10−9 10−6 10−3 10−2 10−1

Siehe auch


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