Zinsstrukturmodelle

Mit Hilfe von Zinsstrukturmodellen möchte man die empirisch beobachtbaren Zusammenhänge zwischen Zinssätzen unterschiedlicher Laufzeiten durch möglichst wenige Zinsstrukturfaktoren erklären, welche idealerweise voneinander unabhängig sind. Diese Modelle dienen der Bewertung von Anleihen und von Derivaten, deren Wert von bestimmten Zinssätzen abhängt (Zinsderivaten). Da die verschiedenen Zinssätze von einander abhängen bzw. einander beeinflussen, ist die Modellierung einzelner Zinssätze unabhängig voneinander nicht sinnvoll. Aus diesem Grund wird versucht, die gesamte Zinsstruktur in einem Modell darzustellen.

Zinsstrukturmodelle gehören zur anspruchsvollsten Gattung unter den Finanzmarktmodellen. Dies vor allem, wenn die "erklärenden" Zinsstrukturfaktoren durch den Einsatz stochastischer Prozesse beschrieben werden.

Einleitung

Das Ziel von Zinsstrukturmodellen ist es, die mögliche zukünftige Entwicklung der Zinsstruktur zu beschreiben. Dabei geht es weniger um die Vorhersage von Zinssätzen, als vielmehr um deren wahrscheinliche künftige Verteilung. Dies ist analog zur Vorgehensweise des Black-Scholes-Modells, das jedoch aus einer Reihe von Gründen nicht zur Bewertung von Zinsderivaten herangezogen werden kann:

• Statt eines Basiswerts (der Aktie) besteht die Zinsstruktur aus einer Vielzahl von Zinssätzen, die alle simultan zu modellieren sind.
• Im Gegensatz zu Aktien werden Zinssätze nicht direkt gehandelt, sondern nur Derivate auf Zinssätze.
• Aktien besitzen eine (theoretisch) unbeschränkte Laufzeit, wohingegen Anleihen regelmäßig eine beschränkte Laufzeit besitzen.

Aus den genannten Gründen ist die Modellierung der Zinsstruktur erheblich schwieriger als die Bewertung von Aktienderivaten und die entsprechenden Modelle wesentlich komplexer. Je nach zugrundeliegender erklärender Variable ("Faktor") werden häufig unterschieden:

• Short-Rate-Modelle - Modellierung der Short Rate
• Forward-Rate-Modelle (auch: Heath-Jarrow-Morton-Modellrahmen) - Modellierung der Forward Rate
• Markt-Modelle - Modellierung von Marktzinssätzen (z.B. LIBOR- oder Swap-Sätze)

Short-Rate-Modelle

Modelle, bei denen die Short Rate (auch Momentanzins) die erklärende Variable und damit die einzige Unsicherheitsquelle ist, heißen dementsprechend Short-Rate-Modelle. Die Short Rate ist theoretischer Natur und kann nicht am Markt beobachtet werden. Sie bezeichnet den Zinssatz einer sicheren Anlage für den gegenwärtigen, infinitesimal (unendlich) kurzen Zeitraum. Meist werden Ein- oder Drei-Monats-Zinssätze zur Berechnung der Short Rate herangezogen. Je nach Modellierung des Short-Rate-Prozesses unterscheidet man verschiedene Ansätze. Einer der ersten stammt von Vasicek (1977), der einen gaußschen Ornstein-Uhlenbeck-Prozess für die Entwicklung der Short Rate verwendet. Damit ist die Short Rate normalverteilt, d. h. Zinssätze können mit positiver Wahrscheinlichkeit negative Werte annehmen. Weitere bedeutende Ansätze sind z. B. die Modelle von Cox/Ingersoll/Ross (1985) oder Hull/White (1990).

Zu den Vorteilen der Short-Rate-Modelle gehört die in den meisten Fällen einfache Implementierung und die große Freiheit bei der Wahl der Parameter. In der Regel liefern sie geschlossene Bewertungsgleichungen für Anleihen und einfache Zinsderivate. Bemängelt wird häufig der Vorgang der Kalibrierung, d. h. die Anpassung der Modellparameter an die realen Marktdaten. Diese Anpassung ist dabei umso komplizierter, je realistischer das Modell ist. Weiterhin haben empirische Studien den Short-Rate-Modellen mit einem Faktor eine schlechte Erklärungskraft nachgewiesen. Die Verwendung einer einzigen erklärenden Variable (der Short Rate) hat zur Folge, dass sämtliche Zinssätze der Zinsstruktur perfekt korreliert sind und die Zinsstruktur nicht adäquat nachgebildet werden kann. Die Hinzunahme weiterer Faktoren neben der Short Rate (wie z. B. der Inflationsrate oder dem langfristigem Zins) kann die Leistung verbessern, verschlechtert jedoch erheblich die Handhabung der Modelle.

Forward-Rate-Modelle

Um die Mängel der Short-Rate-Modelle zu überwinden, entwarfen Heath/Jarrow/Morton (1992) einen allgemeinen Modellrahmen, der anstatt eines einzigen Punktes der Zinsstruktur die Entwicklung der Gesamtheit der Forward Rates in den Mittelpunkt stellt. Die Forward Rate (auch momentaner Terminzins) stellt dabei die Short Rate für einen zukünftigen Zeitpunkt dar. Somit wird die Zinsstrukturkurve als Ganzes modelliert. In ihrer Arbeit weisen die Autoren nach, dass neben der anfänglichen Zinsstruktur als weitere Inputvariable lediglich die Volatilitätsfunktion der Forward Rates benötigt wird (Driftrestriktion). Dies ist analog zum Black-Scholes-Modell, wo der Wert einer Aktienoption ebenfalls nur vom gegenwärtigen Wert des Basiswerts und dessen Volatilität abhängt. Dies ermöglicht die präferenzfreie Bewertung von Zinsderivaten. Der Wahl der Volatilitätsfunktion kommt eine große Bedeutung zu und bestimmt im wesentlichen die jeweiligen Modelleigenschaften.

Eine bedeutende Unterklasse stellen die Gauß-Zinsmodelle dar. Deren Volatilitätsfunktion ist deterministisch, was zu normalverteilten Forward Rates (und damit lognormalverteilten Anleihepreisen) führt. Für den Spezialfall konstanter oder exponentiell fallender Volatilitäten existieren geschlossene Bewertungsgleichungen.

Forward-Rate-Modelle ermöglichen (theoretisch) die Verwendung einer beliebigen (endlichen) Zahl von Unsicherheitsquellen, um somit eine realistischere Darstellung der Zinsstruktur zu ermöglichen. Gleichzeitig ist jedoch auch die Forward Rate ein theoretisches Konstrukt, das nicht direkt am Markt beobachtet werden kann. Diesen Nachteil überwinden die Markt-Modelle.

Markt-Modelle

Markt-Modelle stellen eine Weiterentwicklung der Forward-Rate-Modelle dar. Sie verwenden anstelle von fiktiven Forward Rates tatsächlich am Markt beobachtbare Zinssätze. Diese Methodik wurde erstmals in den Arbeiten von Brace/Gatarek/Musiela (1997) und Miltersen/Sandmann/Sondermann (1997) für LIBOR-Sätze (LIBOR-Markt-Modell) und von Jamshidian (1997) für Swap-Sätze (Swap-Markt-Modell) angewandt. Diese Modelle führen zu Bewertungsgleichungen ähnlich der Black-Scholes-Formel und haben sich daher heute in der Praxis durchgesetzt.

Literatur

Originalarbeiten

• Brace, Alan; Gatarek, Dariusz und Musiela, Marek: The Market Model of Interest Rate Dynamics, Mathematical Finance 7 (1997), 127-147.
• Cox, John C.; Ingersoll Jr., Jonathan E. und Ross, Stephen A.: A Theory of the Term Structure of Interest Rates, Econometrica 53 (1985), 385-407.
• Heath, David; Jarrow, Robert und Morton, Andrew: Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates: A New Methodology for Contingent Claims Valuation, Econometrica 60 (1992), 77-105.
• Hull, John C. und White, Alan: Pricing Interest-Rate-Derivative Securities, The Review of Financial Studies 3 (1990), 573-592.
• Jamshidian, Farshid: LIBOR and Swap Market Models and Measures, Finance and Stochastics 1 (1997), 293-330.
• Miltersen, Kristian R.; Sandmann, Klaus und Sondermann, Dieter: Closed Form Solutions for Term Structure Derivatives with Log-Normal Interest Rates, Journal of Finance 52 (1997), 409-430.
• Vasicek, Oldrich: An Equilibrium Characterization of the Term Structure, Journal of Financial Economics 5 (1977), 177-188.

Bücher

• Branger, Nicole und Schlag, Christian: Zinsderivate - Modelle und Bewertung, Springer, Berlin 2004, ISBN 3540212280.
• Brigo, Damiano und Mercurio, Fabio: Interest Rate Models - Theory and Practice, 2. Auflage, Springer, Berlin 2006, ISBN 3540221492.
• Fries, Christian P.: Finanzmathematik: Theorie, Modellierung, Implementierung, Frankfurt am Main 2006, PDF Datei, Creative Commons Lizenz
• Rebonato, Riccardo: Modern Pricing of Interest-Rate Derivatives: The Libor Market Model and Beyond, Princeton University Press, Princeton 2002, ISBN 0691089736.