Vermutung von Andrica

Die Vermutung von Andrica, benannt nach Dorin Andrica,^[1] ist eine Vermutung zu den Primzahllücken.

Sei p_n die n-te Primzahl. Dann besagt die Vermutung von Andrica, dass folgende Ungleichung für alle natürlichen n gilt:

$\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}<1.$

Unter Verwendung der n-ten Primzahllücke g(n): = p_{n + 1} − p_n lässt sie sich auch so formulieren:

$g(n)<2\sqrt{p_n}+1.$

Werte

Es sei $A_n:=\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}$.

Empirisch sinken diese Werte asymptotisch für steigendes n, sodass es sehr wahrscheinlich ist, dass die Vermutung stimmt. Für alle A_n mit $n<26\cdot10^{10}$ wurde die Vermutung von H. J. Smith bestätigt^[2], der größte gefundene Wert war $A_4\approx0{,}670873479$.

Einige Werte, von denen jeweils vermutet wird, dass sie für größere n nicht mehr übertroffen werden, sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:

n Folge A084976 in OEIS	pn Folge A084974 in OEIS	An Folge A084977 in OEIS
4	7	0,670873
30	113	0,639281
217	1327	0,463722
263	1669	0,292684
367	2477	0,260522
429	2971	0,256245
462	3271	0,244265
590	4297	0,228429
650	4831	0,215476
738	5591	0,213675
...
10655462	191912783	0,008950

Numerische Computerberechnungen bestärken die Vermutung; mittlerweile (2005^[3]) wurden die Primzahlen bis 10¹⁶ getestet. Ein formaler Beweis konnte dennoch bisher nicht erbracht werden.

Verallgemeinerung

Allgemeiner kann man etwa die Gleichung

$p_{n+1}^x-p_n^x=1$

betrachten und nach maximalem bzw. minimalem x suchen, das eine solche Gleichung erfüllt. Die Gleichung hat ihr

• Maximum trivialerweise bei n = 1, d.h.

$3^x-2^x=1\qquad\Rightarrow\qquad x=1$

• Minimum unter den ersten 1000 Primzahlen (und vermutlich auch allgemein) bei n = 30, d.h.

$127^x-113^x=1\qquad\Rightarrow\qquad x=0{,}56714813... = a_0$^[4]

Dieses a₀ wird auch als (die) Smarandache-Konstante bezeichnet.^[5]

Daraus entsteht die verallgemeinerte Andricasche Vermutung

$B_n=p_{n+1}^a-p_n^a < 1 \qquad\quad \mathrm{f\ddot ur\; alle}\; a<a_0.$

Außerdem wird vermutet, dass

$C_n=p_{n+1}^{1/k}-p_n^{1/k} < \frac2k \qquad\quad \mathrm{wobei}\; k\ge2, k\in\N, n\in \N.$

Quellen

1. ↑ http://www.andrica.go.ro/
2. ↑ http://books.google.de/books?id=Mlt2O1rR9xIC&pg=PT26&lpg=PT26&dq=hjsmith+conjecture&source=bl&ots=OWu2Ia61eG&sig=XsSi0thFK1UPaN1NI-kf9Ung2-I&hl=de&ei=Wf7qSpfeI4WLsAao5NCxCw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CBUQ6AEwAg#v=onepage&q=&f=false
3. ↑ Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, Inc., 2005, S. 13.
4. ↑ Folge A038458 in OEIS
5. ↑ vgl. z.B. http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Smarandache_constant&direction=prev&oldid=136223414 Sie ist nicht zu verwechseln mit den sechzehn Smarandacheschen Konstanten, die mit der Smarandache-Funktion in Verbindung stehen.

• Eric W. Weisstein: Andrica's Conjecture. In: MathWorld. (englisch)
• Andrics's Conjecture und Generalized Andrica conjecture auf PlanetMath
• Andrica's Conjecture
• Florentin Smarandache: Six Conjectures which Generalize or Are Relatet to Andrics's Conjecture. Octogon, Vol. 7, No. 1, 173-176, 1999. arXiv:0707.2584v1; vgl.:
• M. L. Perez: Five Smarandache Conjectures on Primes