Smarandache-Konstanten

In der Zahlentheorie spricht man von Smarandache-Konstanten (nach Florentin Smarandache) in zwei Zusammenhängen, einmal bei der Andricaschen Vermutung, andererseits bei der Smarandache-Funktion. Die beiden Definitionen haben außer ihrem Namensgeber nichts gemein.

1.ext

Bezeichnet pn die n-te Primzahl, so besagt die Andricasche Vermutung, dass für alle n $\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}<1.$ Diese Vermutung lässt sich wie folgt verallgemeinern: $p_{n+1}^a-p_n^a < 1 \qquad\quad \mathrm{f\ddot ur\; alle}\; a<a_0.$ Diese Obergrenze für a0, ungefähr 0,56714813..., wird oft als die Smarandache-Konstante bezeichnet. a0 ist Lösung der Gleichung $p_{31}^x-p_{30}^x = 127^x-113^x = 1$.

2.

Die Smarandache-Funktion μ(n) ist wie folgt definiert: μ(n) ist die kleinste natürliche Zahl, für die μ(n)! durch n teilbar ist. Ist zum Beispiel der Wert μ(8) gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, ... zu suchen, die durch 8 teilbar ist; das ist 4!=24=3·8, daher ist μ(8) = 4. Es wurden nun diverse konvergente Reihen untersucht, die die Werte dieser Funktion verwenden. Derartige Grenzwerte werden dann erste, zweite, ... Smarandache-Konstanten genannt.

Smarandache-Konstanten

Die erste Smarandache-Konstante ist definiert durch

$s_1=\sum_{n=2}^\infty \frac1{\mu(n)!} = 1{,}093170459...$

Deren Konvergenz ist mit $\mu(n)\le n$ und der eulerschen Zahl als Obergrenze leicht einzusehen: $\sum \frac1{\mu(n)!}<\sum \frac1{n!}=e$.

Die Nachkommastellen bilden Folge A048799 in OEIS.

Die zweite Smarandache-Konstante ist

$s_2=\sum_{n=2}^\infty \frac{\mu(n)}{n!} = 1{,}7140062935916...$

Für diese ist außerdem beweisen, dass sie irrational ist; sie ist Folge A048834 in OEIS.

Die dritte Smarandache-Konstante ist dann

$s_3=\sum_{n=2}^\infty \frac1{\mu(2)\cdot\mu(3)\cdots\mu(n)} =0{,}7199607000437...$

Ihre Nachkommastellen ergeben die Folge A048835 in OEIS.

Ferner konvergiert folgende Reihe für alle reellen Zahlen $\alpha\ge1$:

$s_4(\alpha)=\sum_{n=2}^\infty \frac{n^\alpha}{\mu(2)\cdot\mu(3)\cdots\mu(n)}$

Die ersten Werte für natürliche α:

α	S4(α)
1	1,7287576053...	(Folge A048836 in OEIS)
2	4,5025120061...	(Folge A048837 in OEIS)
3	13,011144194...	(Folge A048838 in OEIS)

Andere Autoren bewiesen, dass

$s_5=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}\mu(n)}{n!}$

ebenfalls einen Grenzwert hat. Die nächste Konstante,

$s_6=\sum_{n=2}^\infty \frac{\mu(n)}{(n+1)!},$

konvergiert gegen einen Wert 0,218282 < s₆ < 0,5.

Allgemeiner konvergieren sogar

$s_7=\sum_{n=2}^\infty \frac{\mu(n)}{(n+k)!}\quad\text{und}\quad s_8=\sum_{n=2}^\infty \frac{\mu(n)}{(n-k)!}$

für natürliche (bzw. ganze) $k\not=0$.

Außerdem konvergiert

$s_9=\sum_{n=2}^\infty \frac1{\frac{\mu(2)}{2!}+\frac{\mu(3)}{3!}+\cdots+\frac{\mu(n)}{n!}}.$

Zwei weitere Reihen sind

$s_{10}(\alpha)=\sum_{n=2}^\infty \frac1{\mu(n)^\alpha \sqrt{\mu(n)!}}$

und

$s_{11}(\alpha)=\sum_{n=2}^\infty \frac1{\mu(n)^\alpha \sqrt{(\mu(n)+1)!}}$

Diese konvergieren für alle a > 1.

Sei $f:\;\N\to\R$ eine Funktion, für die gilt

$f(t)\le\frac c{t^\alpha\cdot d(t!)-d((n-1)!)}$

wobei t > 0 natürlich und α > 1,c > 12 konstant sein sollen; d(n) bezeichne die Anzahl der Teiler von n. Dann gilt:

$s_{12}(f)=\sum_{n=1}^\infty f(\mu(n))$

ist konvergent.

Außerdem ist auch

$s_{13}=\sum_{n=1}^\infty \frac1{\mu(1)!\cdot\mu(2)!\cdots\mu(n)!}$

konvergent, ebenso wie

$s_{14}(\alpha)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{\mu(n)!\cdot\sqrt{\mu(n)!}\cdot\log\left(\mu(n)\right)^\alpha}$

für α > 1.

Eine weitere konvergente Reihe ist

$s_{15}=\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{\mu(2^n)!}.$

Schließlich konvergiert auch

$s_{16}(\alpha)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^{\alpha+1}}$

für alle α > 1.

Referenzen

Einen Überblick geben

• Eric W. Weisstein: Smarandache Constants. In: MathWorld. (englisch)
• Smarandache Function in PlanetMath
• Constant involving the Smarandache Function: http://fs.gallup.unm.edu//CONSTANT.TXT

Detaillierte Arbeiten sind

• I.Cojocaru, S. Cojocaru: The First Constant of Smarandache. in: Smarandache Notions Journal 7 (1996) S. 116–118;
• dies. ebd. The Second Constant of Smarandache: S. 119–120; und The Third and Fourth Constants of Smarandache: S. 121–126.

• E. Burton: On Some Series Involving the Smarandache Function. In: Smarandache Function Journal 6 (1995), S. 13–15.

• E. Burton: On Some Convergent Series. In: Smarandache Notions Journal 7 (1996): S. 7-9.

• A.J. Kempner: Miscellanea, in: The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 5 (Mai 1918), S. 201-210. jstor

• J. Sandor: On The Irrationality Of Certain Alternative Smarandache Series In: Smarandache Notions Journal 8 (1997) S. 143-144.