Smarandache-Funktion

In der Mathematik ist die Smarandache-Funktion eine Folge bzw. eine zahlentheoretische Funktion, die mit der Fakultät verwandt ist. Historisch gesehen wurde sie zuerst von Lucas^[1] (1883), Neuberg^[2] (1887) und Kempner^[3] (1918) betrachtet. 1980^[4] wurde sie von Florentin Smarandache „wiederentdeckt“.

Definition und Werte

Die Smarandache-Funktion μ(n) ist definiert als die kleinste natürliche Zahl, für die n die Fakultät von μ(n) teilt.

Formal ist μ(n) also die kleinste natürliche Zahl, für die gilt

$n\; |\; \mu(n)!$

Beispiele

Ist zum Beispiel der Wert μ(8) gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, ... zu suchen, die durch 8 teilbar ist. Da $\, 1!=1$ und $2!=1\cdot2=2$ und $3!=1\cdot2\cdot3=6$ nicht durch acht teilbar sind, $4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24=3\cdot8$ aber doch, ist $\, \mu(8)=4$.

Allerdings ist etwa μ(7) = 7, da die Zahl 7 keine der Zahlen 1!, 2!, ..., 6! teilt, während sie 7! trivialerweise teilt.

Die ersten Werte sind:^[5]

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
μ(n)	1 (*)	2	3	4	5	3	7	4	6	5	11	4	13	7	5	6	17	6	19	5	7	11	23	4	10	13	9	7	29

(*) Der Wert μ(1) wird von manchen Autoren auch als 0 definiert.

Eigenschaften

Trivialerweise gilt

$\, \mu(n)\le n,$

da ja n auf jeden Fall $n!=n\cdot(n-1)!$ teilt.

Ein grundlegendes Resultat ist, dass Gleichheit in der obigen Ungleichung genau für prime n oder n = 4 eintritt:

$\mu(n)=n\qquad\Leftrightarrow\qquad n\;\mathrm{prim}\;\mathrm{oder}\;n=4$

Beweis:

$\Rightarrow$: Sei μ(n) = n und n nicht prim. Dann ist n = 4 zu zeigen. Da n nicht prim ist, gibt es natürliche Zahlen $2\le s\ \le t < n$ mit n = st. Wäre sogar s < t, so wäre n = st | t! und man erhielte den Widerspruch $\mu(n)\le t < n$. Also ist s = t und daher n = t². Wäre 2 < t, so folgte t < 2t < t² = n, also $t<2t\le n-1$ und damit $n=t^2|t\cdot 2t|(2t)!|(n-1)!$, und man hätte erneut den Widerspruch μ(n) < n. Daher muss t = 2 sein und es folgt n = 4.

$\Leftarrow$: Ist n prim, so teilt n keine Zahl m! für m < n, da n per def. nicht in m! vorkommt. Daher gilt μ(n) = n. μ(4) = 4 ist klar.

Übrigens ergibt sich dadurch für π(x), die Anzahl der Primzahlen kleinergleich x und der Ganzzahlfunktion:

$\pi(x)=-1+\sum_{k=2}^x \left\lfloor\frac{\mu(k)}k\right\rfloor$.

Nach Paul Erdős stimmt μ(n) mit dem größten Primfaktor von n überein für asymptotisch fast alle n, d.h. die Anzahl der Zahlen kleiner gleich n, für die dies nicht gilt, ist o(n).

Allgemein gilt ferner

$\, \mu(n!)=n$

und

$\mu(n)\ge\mathrm{gpf}(n)$

wobei gpf für den größten Primfaktor von n stehe.

Ganz allgemein gilt

$\mu\left(p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot ... \cdot p_n^{\alpha_n}\right)=\mathrm{max}\left[\mu\left(p_1^{\alpha_1}\right),\mu\left(p_2^{\alpha_2}\right),\ldots,\mu\left(p_n^{\alpha_n}\right)\right]$

Für (gerade) vollkommene Zahlen n gilt außerdem ($k\in\N,p\text{ prim}$)^[6]

$\mu(n)=\mu(2^{k-1}\cdot(2^k-1))=2^k-1=p$

Abwandlungen

Pseudosmarandache-Funktion

Die Pseudosmarandache-Funktion Z(n) ist die kleinste ganze Zahl, für die

$1+2+3+\cdots+Z(n)\qquad\text{teilt}\;n,$

also das kleinste natürliche n, für das gilt

$\left. \frac{Z(n)(Z(n)+1)}2\;\;\right|\;\;n$

(siehe auch Dreieckszahl, Gaußsche Summenformel)

Die ersten Werte sind

1, 3, 2, 7, 4, 3, 6, 15, 8, 4, 10, 8, 12, 7, 5, 31, 16, 8, 18, 15, ... (Folge A011772 in OEIS)

Einige Eigenschaften:^[7]

• $\sqrt n<Z(n)\le 2n-1$

• $Z(n)\le n-1\qquad\mathrm{f\ddot ur\;ungerade\;}n$

• $Z(2^k)=2^{k+1}-1\,$

• $\frac{Z(n+1)}{Z(n)}\text{ und } \frac{Z(n-1)}{Z(n)}\text{ und } \frac{Z(2n)}{Z(n)}$ sind nach oben hin unbegrenzt

• $\frac n{Z(n)}=k\;(k\in\Z,k\ge2)$ hat unendlich viele Lösungen für n

• $\sum_{n=1}^\infty \frac1{Z(n)^\alpha}$ konvergiert für alle α > 1

Smarandache-Doppelfakultät-Funktion

Ersetzt man in der Definition die Fakultät durch die Doppelfakultät

$n!! = \begin{cases} n \cdot (n-2) \cdot (n-4)\cdot\ldots\cdot 2 & \mathrm{f\ddot ur}\ n\ \mathrm{gerade,} \\ n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdot\ldots\cdot 1 & \mathrm{f\ddot ur}\ n\ \mathrm{ungerade,}\end{cases}$

so ist Sdf(n)

die kleinste natürliche Zahl, die durch Sdf(n)!! teilbar ist.

Die ersten Werte für Sdf(n) sind

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 4, 9, 10, 11, 6, 13, 14, 5, 6, ... (Folge A007922 in OEIS)

Smarandache-Funktion mit Primorial

Das Primorial (auch Primfakultät, $p_\#$) ist das Produkt der Primzahlen kleinergleich der gegebenen Zahl. Die Smarandache Near-to-Primorial Function^[8] von n ist dann die kleinste Primzahl, für die $p_\#+1$, $p_\#-1$ oder $p_\#$ durch n teilbar ist.

Smarandache-Kurepa-Funktion und Smarandache-Wagstaff-Funktion

Für die Smarandache-Kurepa-Funktion SK(n) wandle man die Fakultät nicht zur Doppelfakultät sondern zu folgender Funktion ab:

$f(n)=\sum_{k=0}^{n-1} k!= 0!+1!+2!+\ldots+(n-1)!$

Für prime p ist SK(p) analog die kleinste natürliche Zahl, sodass f(SK(p)) durch p teilbar ist.^[9]

Die ersten Werte sind 2, 4, 6, 6, 5, 7, 7, 12, 22, 16, 55 und bilden Folge A049041 in OEIS.

Die Smarandache-Wagstaff-Funktion verwendet stattdessen^[10]

$f(n)=\sum_{k=1}^n k!= 1!+2!+\ldots+n!$

Smarandache-Ceil-Funktion

Die Smarandache-Wagstaff-Funktion k-ter Ordnung S_k(n) schließlich ist als die kleinste natürliche Zahl definiert, für die $\, [S_k(n)]^k$ durch n teilbar ist.^[11]

Die ersten Werte:

k	Sk(n)
1	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...	n
2	1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 4, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, ...	(Folge A019554 in OEIS)
3	1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, ...	(Folge A019555 in OEIS)
4	1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, ...	(Folge A053166 in OEIS)

Weiteres

• Tutescu^[12] vermutete, dass für zwei aufeinanderfolgende Zahlen deren Werte der Smarandache-Funktion stets verschieden sind:

$\mu(n)\not=\mu(n+1)\qquad\quad\mathrm{f\ddot ur\; alle}\; n$

Dies wurde bis 10⁹ die Vermutung bestätigend nachgerechnet.

• Es gibt eine recht große Vielfalt konvergenter Reihen, die die Smarandache-Funktion verwenden. Derartige Grenzwerte werden oft als Smarandache-Konstanten bezeichnet – nicht zu verwechseln mit der Smarandache-Konstante in der verallgemeinerten Andricaschen Vermutung.

Die Reihe der Kehrwerte der Fakultäten der Smarandache-Funktion konvergiert (erste Smarandache-Konstante):

$\sum_{n=2}^\infty \frac1{\mu(n)!}=1{,}09317...$ (Folge A048799 in OEIS)

Referenzen

1. ↑ E. Lucas: Question Nr. 288. Mathesis 3: 232, 1883
2. ↑ J. Neuberg: Solutions de questions proposées, Question Nr. 288. Mathesis 7: 68–69 (1887)
3. ↑ Aubrey J. Kempner: Miscellanea. American Mathematical Monthly 25: S. 201–210 (1918). doi:10.2307/2972639
4. ↑ Florentin Smarandache: A Function in Number Theory. In: An. Univ. Timişoara, Ser. St. Mat. 18, 1980: S. 79–88. arXiv:math/0405143
5. ↑ Folge A002034 in OEIS
6. ↑ Sebastián Martín Ruiz: Smarandache’s function applied to perfect numbers. In: Smarandache Notions Journal Vol. 10, Frühjahr 1999, S. 114. arXiv:math/0406241
7. ↑ R.G.E. Pinch: Some properties of the pseudo-Smarandache function in arXiv, 6. April 2005
8. ↑ Eric W. Weisstein: Smarandache Near-to-Primorial Function. In: MathWorld. (englisch)
9. ↑ Eric W. Weisstein: Smarandache-Kurepa Function. In: MathWorld. (englisch)
10. ↑ Eric W. Weisstein: Smarandache-Wagstaff Function. In: MathWorld. (englisch)
11. ↑ Eric W. Weisstein: Smarandache Ceil Function. In: MathWorld. (englisch)
12. ↑ L. Tutescu: On a Conjecture Concerning the Smarandache Function. Abstracts of Papers Presented to the American Mathematical Society 17, S. 583, 1996

• Eric W. Weisstein: Smarandache Function. In: MathWorld. (englisch)

• Kenichiro Kashihara: Comments and topics on Smarandache notions and problems Erhus University Press 1996, ISBN 1-87958-555-3 – PDF

• Norbert Hungerbühler, Ernst Specker: A Generalisation of the Smarandache Function to Several Variables. Electronic Journal of Combinatorical Number Theory 6(2006), #A23 – PDF

• C. Dumitrescu, N. Virlan, St. Zamfir, E. Radescu, N. Radescu, F.Smarandache: Smarandache Type Function Obtained by Duality, Studii si Cercetari Stiintifice, Seria: Matematica, University of Bacau, No. 9, S. 49-72, 1999. arXiv:0706.2858

• Sebastian Martin Ruiz, M. L. Perez: Properties and Problems related to Smarandache Type Functions. In: Mathematics Magazine for grades 1-12. 2/2004 S.46-53 – arXiv:math/0407479

• Das Smarandache Function Journal, http://fs.gallup.unm.edu/~smarandache/ – Vol. 1, Vol. 6
• und Smarandache Notions Journal – Vol. 7, Vol. 8, Vol. 9, Vol. 10, Vol. 11, Vol. 12, Vol. 13