Ausgabenfunktion

Die Ausgabenfunktion ist eine in der Mikroökonomik verwendete Funktion, die angibt, wie viel ein Konsument minimal ausgeben muss, um ein gegebenes Nutzenniveau zu erreichen. Nutzenfunktion und Preise der Güter, mit denen der Nutzen erzielt werden kann, sind ebenfalls vorgegeben.

Formal schreibt man die Ausgabenfunktion e (e für engl. expenditure) als

$e(p, u^*) : \textbf R^L_+ \times \textbf R \rightarrow \textbf R$,

wobei u ^* der zu erzielende Nutzen und p ein Vektor mit den Preisen der verfügbaren Güter ist. Der Funktionswert von e ergibt sich aus der Lösung des Ausgabenminimierungsproblems (engl. expenditure minimization problem oder kurz EMP):

Seien die Mengen aller verfügbaren Güterbündel durch Vektoren X gegeben. Der Konsument bestimme den Nutzen eines Bündels X über eine Nutzenfunktion u = u(X). Nun kann er den vorgegebenen Nutzen u ^* möglicherweise über ein oder mehrere X erreichen. Er sucht unter all diesen Güterbündeln diejenigen X ^* , bei denen er den Nutzen u ^* zu minimalen Kosten erreicht. Die Ausgabenfunktion e gibt genau diese minimalen Kosten an:

$e(p, u^*) = \min_{X \in \geq(u^*)} p \cdot X = p \cdot X^*$

wobei

$\geq(u^*) = \{X \in \textbf R^L_+ : u(X) \geq u^*\}$

die Menge aller Güterbündel ist, mit denen sich mindestens der Nutzen u ^* erzielen lässt.

Die Ausgabenfunktion ist eng mit der Hicks’schen Nachfragefunktion verknüpft: Während die Ausgabenfunktion für ein Nutzenniveau u ^* die minimal erforderlichen Ausgaben e angibt, gibt die Hicks’sche Nachfragefunktion die entsprechenden Güterbündel X ^* an.

Literatur

• Friedrich Breyer: Mikroökonomik - Eine Einführung. Springer, 2007, ISBN 9783540692324, S. 134-139, doi:10.1007/978-3-540-69232-4., Kapitel 4.3.2 Ausgabenminimierung bei gegebenem Nutzenniveau
• Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston und Jerry R. Green: Microeconomic Theory. 2007, ISBN 0195102681., Abschnitt The Expenditure Function