Cesàro-Kurve

Bei der Cesàro-Kurve handelt es sich um ein selbstähnliches Fraktal, das um 1905 von Ernesto Cesàro beschrieben wurde. Sie stellt eine Verallgemeinerung der bekannten Koch-Kurve dar. Der Initiator ist wie dort ebenfalls die Einheitsstrecke, jedoch wird der Basiswinkel des von der Kurve umschlossenen gleichschenkligen Dreiecks, der bei der Koch-Kurve θ = 60 ° beträgt, variabel im Bereich von θ = 0 ° bis θ = 90 °. Somit ergibt sich die Cesàro-Kurve als eine Kurvenschar mit dem Parameter θ.

Verschiedene Cesàro-Kurven

Zehn verschiedene Cesàro-Kurven von θ = 0 ° bis θ = 90 ° in Schritten von 10°

In Abhängigkeit des Parameters θ  ergeben sich sehr unterschiedliche Kurven. Für θ  = 0° erhält man die Einheitsstrecke, da es zu keiner Längenzunahme kommt. Mit zunehmendem θ  wirkt die Kurve rauher und zerklüfteter, da ihre fraktale Dimension von 1 bei θ  = 0° bis auf 2 bei 90° steigt, wo die Kurve schließlich ein gleichschenkliges Dreieck mit der Fläche 1/4 ausfüllt. In diesem Fall handelt es sich daher um eine fraktale Füllkurve.

Die fraktale Dimension lässt sich anhand der folgenden Formel bestimmen:

$D_{Ces\grave{a}ro}(\theta)=\frac{\log\,4}{\log\,(2(1+\cos\theta))}\,\,$

Die Fläche unterhalb der Cesàro-Kurve

Die Fläche "unterhalb" der Kurve (also zwischen Kurve und Initiator) ergibt sich als Funktion einer Reihe über den Parameter θ:^[1]

$A_{Ces\grave{a}ro}\,(\theta)=\sum_{n=0}^{\infty}4^{n}\left(\left(\frac{1}{4(1+\cos\theta)^{2}}\right)^{n+1}\cdot\sin\,\theta\cdot\cos\,\theta\right);\,0^\circ\leq\theta\leq90^\circ$

Dabei steigt die Fläche von A = 0 bei θ = 0° bis auf $A\approx0,125$ bei θ = 90° an.

Einzelnachweise

1. ↑ Grundlagen der fraktalen Geometrie mit iterierten Funktionensystemen (IFS), A. Jablonski,[1]

Literatur

• Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur, Birkhäuser, ISBN 3-7643-2646-8