Koch-Kurve

Kochsche Schneeflocke, Konstruktion.

Die Koch-Kurve oder kochsche Kurve ist ein von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch 1904 vorgestelltes Beispiel für eine überall stetige, aber nirgends differenzierbare Kurve. Es handelt sich bei ihr ferner um eines der ersten formal beschriebenen fraktalen Objekte. Die Koch-Kurve ist eins der am häufigsten zitierten Beispiele für ein Fraktal und wurde bei der Entdeckung als Monsterkurve bezeichnet. Die Koch-Kurve ist auch in Form der kochschen Schneeflocke bekannt, die durch geeignete Kombination dreier Koch-Kurven entsteht.

Konstruktion

Man kann die Kurve anschaulich mittels eines iterativen Prozesses konstruieren (s. Lindenmayer-System). Zu Beginn besteht die Kurve aus einem einzigen Streckenstück. Die Iteration besteht nun darin, dass dieser Streckenabschnitt durch einen anderen, aus vier gleich langen Strecken bestehenden Streckenabschnitt ersetzt wird, der wie folgt aufgebaut ist: Strecke – 60°-Winkel – Strecke – 120°-Winkel (in der Gegenrichtung) – Strecke – 60°-Winkel – Strecke. Jeder der vier neuen Streckenabschnitte hat 1/3 der Länge des ursprünglichen Streckenabschnitts. Im nächsten Schritt wird jeder der vier Streckenabschnitte durch einen Streckenabschnitt der oberen Art ersetzt.

Diese Iteration wird nun beliebig oft wiederholt, wobei die Dreiecke stets zur selben Seite der Kurve hin zu errichten sind. Auf diese Weise ergibt sich eine Folge von Streckenzügen, die gegen die Koch-Kurve strebt.

Graphische Darstellung der Konstruktion

Die ersten drei Iterationen der Konstruktion

Nach fünf Iterationen:

Dieses Konstruktionsprinzip, bei dem iterativ jede Teilstrecke durch einen Streckenzug ersetzt wird, lässt sich auch für die Erzeugung anderer fraktaler Kurven verwenden. So wird es beispielsweise bei der Drachenkurve eingesetzt.

Das Konstruktionsprinzip ist eng verwandt mit dem der Erzeugung der Cantor-Menge, welche man erhält, wenn man das mittlere Drittel der Strecke nicht ersetzt, sondern entfernt.

Definition des Grenzwerts

Der Grenzwert dieser Iteration (z. B. als IFS-Fraktal), die eigentliche Koch-Kurve, ist in gewissem Sinne unendlich fein strukturiert und kann daher nur näherungsweise graphisch dargestellt werden. In diesem Fall lässt sich der Grenzwert einfach wie folgt definieren:

Zum Grenzwert der Iteration gehören diejenigen Punkte, die von irgendeinem Iterationsschritt an in allen folgenden Iterationen enthalten sind, sowie alle Häufungspunkte der so gebildeten Punktmenge.

Der linke Endpunkt des anfänglichen Streckenstücks ist beispielsweise in jeder Iteration enthalten und gehört damit zur Kochkurve. Der Mittelpunkt des anfänglichen Streckenstücks hingegen ist schon ab der ersten Iteration nicht mehr enthalten. Eine andere (gleichbedeutende) Grenzwertdefinition ist weiter unten durch die Parameterdarstellung f gegeben.

Eigenschaften

Eigenschaften aus der fraktalen Geometrie

Die Koch-Kurve ist nach ihrer Konstruktionsvorschrift streng selbstähnlich, das heißt, es erscheinen bei beliebiger Vergrößerung immer wieder die gleichen Strukturen.

Sie hat eine Hausdorff-Dimension von

$\frac {\log(4)} {\log(3)} \approx 1{,}26$

Länge und Flächeninhalt

Die Länge der Kurve ist unbegrenzt, da der Streckenzug bei jedem Iterationsschritt um den Faktor 4/3 länger wird. Nach dem n-ten Iterationsschritt ist die Kurvenlänge also auf das (4 / 3)ⁿ-fache angewachsen.

Die (oben grün eingefärbte) Fläche „unterhalb“ der Kurve ist hingegen begrenzt. Wenn das Dreieck unterhalb der ersten Iteration den Flächeninhalt 1 hat, kommt bei der zweiten Iteration an jeder der 4 Strecken ein Dreieck mit Flächeninhalt 1/9 hinzu, und bei der n-ten Iteration kommt ein Flächeninhalt von $4^{n-1}\cdot (1/9)^{n-1}$ hinzu. Der gesamte Flächeninhalt berechnet sich demnach als geometrische Reihe zu

$\sum_{n=0}^\infty \left({4\over9}\right)^n = {1\over 1-4/9} = {9\over5}$.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Die Kurve ist überall stetig, aber nirgends differenzierbar.

Zur Untersuchung dieser Eigenschaften betrachtet man die Parameterdarstellung $f_n\colon [0,1]\to {\mathbb R}^2$ der n-ten Iteration und deren Grenzfunktion $f(t) = \lim_{n\to\infty} f_n(t)$. Wenn man $t\in [0,1]$ als Zeitpunkt auffasst, ist f_n(t) derjenige Punkt auf dem Streckenzug nach der n-ten Iteration, den man zum Zeitpunkt t erreicht, wenn man den Streckenzug mit konstanter Geschwindigkeit (4 / 3)^{n − 1} (allerdings mit 4^{n − 1} − 1 abrupten Richtungsänderungen) vom linken zum rechten Endpunkt durchläuft. Die Funktionen f_n sind alle stetig und konvergieren punktweise gegen die Grenzfunktion f.

Stellt man den Zeitpunkt t in einer Entwicklung zur Basis 4 dar, d.h. mit den Ziffern 0,1,2,3, dann gibt die erste Nachkommastelle den Abschnitt des ersten Konstruktionsschrittes an, auf welchem sich f_n(t) befindet, die zweite den Unterabschnitt auf diesem im zweiten Konstruktionsschritt usw. Dadurch kann man mit den ersten n Nachkommastellen ein Gebiet der Größenordnung 3 ^{− n} konstruieren, in welchem sich alle nachfolgenden Punkte f_{n + k}(t) aufhalten müssen. Aus dieser Eigenschaft folgt, dass die Funktionen f_n sogar gleichmäßig gegen f konvergieren. Nach einem Satz der Analysis ist f als „gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen“ dann ebenfalls stetig.

In jedem noch so kleinen Abschnitt der Kurve finden sich nach der Konstruktion Teilstücke, die eine Richtung $k\cdot 60^\circ$ für jedes k = 0,1,2,3,4,5 haben. Daher kann man zu keinem Punkt der Kurve eine Tangente konstruieren, d.h. die Kurve ist nirgends differenzierbar.

Kochsche Schneeflocke

Kochsche Schneeflocke, Animation.

Beginnt man den Ersetzungsprozess der Koch-Kurve nicht mit einer Strecke, sondern mit einem gleichseitigen Dreieck, dann erhält man die kochsche Schneeflocke. Sie besteht aus drei Koch-Kurven und schließt trotz ihrer unendlichen Länge nur einen Bereich mit endlicher Fläche ein. Die Kochsche Schneeflocke ist im Gegensatz zur Koch-Kurve nicht selbstähnlich.

Anwendung

• Ein Beispiel ist die Fraktalantenne

Erstveröffentlichungen

• Helge von Koch: Une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géometrique élémentaire. Arkiv för Matematik 1 (1904) 681-704.
• Helge von Koch: Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes. Acta Mathematica 30 (1906) 145-174.

Weblinks

 Commons: Koch-Kurve – Album mit Bildern und/oder Videos und Audiodateien

 Commons: Koch-Schneeflocke – Album mit Bildern und/oder Videos und Audiodateien

• Weitergehende Darstellungen
• Niels Fabian Helge von Koch. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch)
• Eric W. Weisstein: Koch Snowflake. In: MathWorld. (englisch)