Crystal-Ball-Funktion

Plot der Crystal-Ball-Funktion mit drei verschiedenen Parametersätzen

Bei der Crystal-Ball-Funktion, benannt nach der Crystal Ball Collaboration, handelt es sich um eine asymmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung, die oft benutzt wird, um verschiedene verlustbehaftete Prozesse in der Hochenergiephysik zu modellieren. Sie ist zusammengesetzt aus einem gaußförmigen zentralen Bereich, der für kleine Werte in ein Potenzgesetz übergeht. Die Funktion selber und ihre erste Ableitung sind stetig.

Die Crystal-Ball-Funktion ist gegeben durch

$f(x;\alpha,n,\bar x,\sigma) = N \cdot \begin{cases} \exp\left(- \frac{(x - \bar x)^2}{2 \sigma^2}\right), & \mbox{for }\frac{x - \bar x}{\sigma} > -\alpha \\ A \cdot\left(B - \frac{x - \bar x}{\sigma}\right)^{-n}, & \mbox{for }\frac{x - \bar x}{\sigma} \leqslant -\alpha \end{cases}$

worin

$A = \left(\frac{n}{\left| \alpha \right|}\right)^n \cdot \exp\left(- \frac {\left| \alpha \right|^2}{2}\right)$,

und

$B = \frac{n}{\left| \alpha \right|} - \left| \alpha \right|$,

N ist ein Normierungsfaktor, $\bar x$ und σ sind Erwartungswert und Standardabweichung der Gauß-Verteilung. α bestimmt die Position des Übergangs zwischen Gauß-Verteilung und Potenzgesetz, n ist der freie Parameter des Potenzgesetzes.

Literatur

• J. E. Gaiser, Appendix-F Charmonium Spectroscopy from Radiative Decays of the J/Psi and Psi-Prime, Ph.D. Thesis, SLAC-R-255 (1982), S. 178. (PDF, 205 Seiten)
• M. J. Oreglia, A Study of the Reactions psi prime → gamma gamma psi, Ph.D. Thesis, SLAC-R-236 (1980), Appendix D.
• T. Skwarnicki, Ph.D Thesis, DESY F31-86-02(1986), Appendix E.