Dyson-Gleichung

Die Dyson-Gleichungen sind von Freeman Dyson gefundene Zusammenhänge zwischen verschiedenen S-Matrix-Elementen, bzw. Green-Funktionen, einer Quantenfeldtheorie. Zwar wurden die Gleichungen von Dyson nur für zwei- und drei- Punktfunktionen in der Quantenelektrodynamik durch aufsummieren unendlich vieler Feynman-Diagramme gefunden ^[1], doch gelten diese Gleichungen allgemein in Quantenfeldtheorien und werden auf für allgemeine n-Punktfunktionen verwendet.

Sie stellen Green-Funktionen mit Wechselwirkungen (dressed, englisch für bekleidet) durch freie Green-Funktionen und den Wechselwirkungsterm dar. Mathematisch handelt es sich um Integralgleichungen.

Die originalen Dyson-Gleichungen^[1] lauten

• für den Elektron-Propagator: S = S₀ + S₀ΣS
• für den Photon-Propagator: D = D₀ + D₀ΠD
• und für den Elektron-Photon-Vertex: Γ_μ = γ_μ + Λ_μ

wobei die tiefgestellte 0 jeweils die freien Terme kennzeichnet und die großen griechischen Buchstaben jeweils die irreduzible Green-Funktion für das Ein-Teilchen-System, also die Elektron-Selbstenergie und die Photon-Vakuumpolarisation darstellen.

Die ersten zwei Gleichungen tragen die allgemeine Form (n=1)

$G^n = G_0^n + G_0^n K^n G^n$

mit der Green-Funktion für n freie Teilchen $G_0^n$, der vollen Green-Funktion (dressed) der n-Teilchen Gⁿ und den irreduziblen Wechselwirkungen der n-Teilchen Kⁿ. Diese Gleichung wird heute oft als die Dyson-Gleichung bezeichnet.

Die Dyson-Gleichung, auch in Form der Dyson-Schwinger-Gleichungen, wird heute in vielen Bereichen der theoretischen Physik eingesetzt. Eine theoretische Anwendung ist die Herleitung der Bethe-Salpeter-Gleichung.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} F. Dyson: The S Matrix in Quantum Electrodynamics. In: Phys. Rev.. 75, 1949. doi:10.1103/PhysRev.75.1736.