Ergebnis (Stochastik)

Elementarereignis, Grundereignis, atomares Ereignis, Element eines Wahrscheinlichkeitsraums oder auch Ergebnis wird ein Element der Ergebnismenge Ω in einem Wahrscheinlichkeitsraum genannt.

Grundlagen

Der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Σ,P) bildet dann die Gesamtheit aus

• der Ergebnismenge Ω (auch Grundraum)
• den Elementareignissen oder Ergebnissen $x \in \Omega$,
• einem System von Teilmengen (Ereignissen) Σ von Ω, der Ereignisalgebra
• und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P.

Es ist zu beachten, dass ein Elementarereignis trotz seines Namens kein Ereignis eines Wahrscheinlichkeitsraumes ist. Ein Ereignis ist als ein Element der Ereignisalgebra definiert und somit kein Element sondern eine Teilmenge des Grundraums. Zwar kann man die Elemente des Grundraums mit seinen einelementigen Teilmengen identifizieren, doch liegen diese einelementigen Teilmengen nur dann in der Ereignisalgebra, wenn diese der Potenzmenge des Grundraums entspricht.

Im wichtigen Spezialfall diskreter Wahrscheinlichkeitsräume (bei ihnen ist Ω endlich oder höchstens abzählbar) ist die Potenzmenge von Ω eine geeignete Ereignisalgebra. In diesem Fall sind dann insbesondere auch alle mit den Elementarereignissen identifizierbaren einelementigen Teilmengen in der Ereignisalgebra enthalten, das heißt die Elementarereignisse sind dann tatsächlich auch Ereignisse des Wahrscheinlichkeitsraums.

Begriff

Die Bezeichnung Elementarereignis für die Elemente des Wahrscheinlichkeitsraumes geht auf Kolmogorow selbst zurück, dieser unterschied zwar auch zwischen den Elementen der Ergebnismenge und ihren einelementigen Teilmengen, führte für letztere aber keine eigene Bezeichnung ein. Abweichend von Kolmogorov wird in der Literatur oft auch Ergebnis oder Ausgang statt Elementarereignis verwandt. Zudem wird dann im Falle diskreter Wahrscheinlichkeitsräume Elementarereignis stattdessen für die einelementigen Teilmengen benutzt, die in diesem Kontext im Gegensatz zum allgemeinen Fall auch immer Ereignisse sind.

Literatur

• Boris Vladimirovich Gnedenko: Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitstheorie. 10. Auflage, Harri Deutsch Verlag 1997, ISBN 9783817115310, S. 25, 50
• Paul E. Pfeiffer: Concepts of probability theory Dover Pubns, 1978, ISBN 9780486636771, S. 18.(Auszug in der Google Buchsuche)

Weblinks

• Elementarereignis auf Mathe-Online