Gebrochene Brownsche Bewegung

Die gebrochene Brownsche Bewegung oder auch fraktionale Brownsche Bewegung ist eine Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen $(X^H(t))_{t \geq 0}$, welche durch die folgende Kovarianzfunktion charakterisiert sind:

$E[X^H(t) X^H(s)]=\frac{1}{2} (|t|^{2H}+|s|^{2H}-|t-s|^{2H}),$

wobei H eine reelle Zahl in (0, 1) ist. H wird häufig der Hurst-Parameter genannt. Für H=1/2 ist die gebrochene Brownsche Bewegung eine eindimensionale Brownsche Bewegung.

Eigenschaften

Selbstähnlichkeit

X^H ist selbstähnlich. Genauer gilt, dass die Prozesse $(X^H(ct))_{t \geq 0}$ und $(c^H X^H(t))_{t \geq 0}$ für jedes feste c >0 dieselbe Verteilung besitzen.

Stationäre Inkremente

Aus der Darstellung der Kovarianzfunktion folgt direkt die Beziehung

$E[(X^H(t) - X^H(s))^2] = |t-s|^{2H}, \quad t,s \geq 0.$

Insbesondere sind die Inkremente also stationär. Außerdem gilt:

• falls H = 1/2, so hat der Prozess unabhängige Inkremente;
• falls H > 1/2, so sind die Inkremente positiv korreliert;
• falls H < 1/2, so sind die Inkremente negativ korreliert.

Pfadeigenschaften

Die Pfade der gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H sind Hölder-stetig mit Index α für jedes α < H.

Stochastische Integration

Es ist möglich, stochastische Integrale bezüglich der gebrochenen Brownschen Bewegung zu definieren.

Weblinks

• Vorlesungsvideo über die gebrochene Brownsche Bewegung (englisch)

Quellen

Biagini, F., Hu, Y., Øksendal, B. and Zhang, T.: Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Applications. London, 2008.