Generatormatrix

In der Kodierungstheorie ist eine Generatormatrix eine Basis für einen linearen Code, der alle möglichen Codewörter erzeugt. Wenn die Matrix G und der lineare Code C ist, dann

w=cG

wobei w ein eindeutiges Codewort des linearen Codes C ist. c ist ein eindeutiger Zeilenvektor. Es existiert eine Bijektion zwischen w und c. Eine Generatormatrix für einen (n, M = q^k, d)_q-Code ist von der Dimension k×n. Dabei ist n die Länge des Codeworts, k ist die Anzahl der Informationsbits, d ist der Hamming-Abstand und q ist die Anzahl der Symbole im Alphabet (q = 2 entspricht einem Binärcode). Die Anzahl der redundanten Bits ist r = n - k.

Die systematische Form für eine Generatormatrix ist

$G = \begin{bmatrix} I_k | P \end{bmatrix}$

wobei I_k eine k×k Einheitsmatrix und P von der Dimension k×r ist.

Eine Generatormatrix kann verwendet werden, um eine Paritätsprüfungsmatrix für einen Code zu erzeugen (und umgekehrt).

Äquivalente Codes

Codes C₁ und C₂ sind äquivalent (geschrieben C₁ ~ C₂), wenn der eine Code aus dem anderen durch die folgenden beiden Transformationen erzeugt werden kann

1. Komponenten vertauschen
2. Komponenten skalieren.

Äquivalente Codes besitzen den gleichen Hamming-Abstand.

Die Generatormatrizen von äquivalenten Codes kann man über die folgenden Transformationen erzeugen:

1. Zeilen vertauschen
2. Zeilen skalieren
3. Zeilen addieren
4. Spalten vertauschen
5. Spalten skalieren.

Siehe auch

• Hamming-Code

Weblinks

• MathWorld entry (englisch)

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Generatormatrix“