Gute Primzahl

Der Begriff gute Primzahl wird in der Mathematik in unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Die häufigsten Verwendungen beziehen sich auf den Vergleich einer Primzahl mit geeigneten Mittelwerten von Primzahlen aus der Umgebung.

Definition nach Erdős und Straus

Die n-te Primzahl p_n heißt gut, falls für alle Paare von Primzahlen p_{n − i} und p_{n + i}, wobei i von 1 bis n − 1 geht, gilt:

$p_n^2 \;>\; p_{n-i}\cdot p_{n+i}.$

Es kann gezeigt werden, dass es unendlich viele gute Primzahlen gibt. Die ersten davon lauten

5, 11, 17, 29, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 97, …^[1]

Diese Definition geht auf Paul Erdős und Ernst Gabor Straus zurück.^[2]

Beispiele

Es soll geprüft werden, ob 11 eine gute Primzahl ist.

11 ist die 5. Primzahl: $2, 3, 5, 7, \mathbf{11}, 13, 17, 19, 23$. Also ist zu prüfen:

$11^2 = 121 > 7 \cdot 13 = 91$

$11^2 = 121 > 5 \cdot 17 = 85$

$11^2 = 121 > 3 \cdot 19 = 57$

$11^2 = 121 > 2 \cdot 23 = 46$

Also ist 11 eine gute Primzahl.

Es soll geprüft werden, ob 13 eine gute Primzahl ist.

13 ist die 6. Primzahl: $2, 3, 5, 7, 11, \mathbf{13}, 17, 19, 23, 29, 31$. Da

$13^2 = 169 < 11 \cdot 17 = 187$,

gilt nicht $13 = p_6^2 > p_5\cdot p_7$. Daher ist 13 keine gute Primzahl.

Abgeschwächte Definition

Eine Primzahl heißt gut, wenn sie größer ist als das geometrische Mittel des unmittelbar benachbarten Primzahlpaares.

Die n-te Primzahl p_n also heißt gut, falls

$p_n^2 \;>\; p_{n-1}\cdot p_{n+1}$.

Auch nach dieser Definition gibt es unendlich viele gute Primzahlen gibt, die ersten davon lauten

5, 11, 17, 29, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 79, 97, 101, …^[3]

Beispiele

Die 79 ist in diesem Sinne eine gute Primzahl, weil

$79^2 = 6241 > 73 \cdot 83 = 6059$.

Sie ist aber keine gute Primzahl im ersten Sinne, weil für das vorhergehende Primzahlpaar gilt

$79^2 = 6241 < 71 \cdot 89 = 6319$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Good Prime. In: MathWorld. (englisch)
• Die ersten 10000 guten Primzahlen (im ersten Sinn) auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Einzelnachweise

1. ↑ Folge A028388 in OEIS
2. ↑ vgl. Richard Kenneth Guy: Good Primes and the Prime Number Graph. In: Unsolved Problems in Number Theory. 2. Auflage. Springer, New York 1994, S. 32f, §A14. (Google books)
3. ↑ Folge A046869 in OEIS