Cauchy'scher Hauptwert

Cauchy'scher Hauptwert
Dieser Artikel behandelt den Hauptwert in der Integralrechnung. Für die Bedeutung des Hauptwertes bei komplexen Logarithmen, siehe Logarithmus.

Als cauchyschen Hauptwert (nach A. L. Cauchy) bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der Analysis den Wert, den man einem divergenten Integral zuordnen kann, wenn sich divergente Teile verschiedenen Vorzeichens gegenseitig aufheben.

Definition

Ist das Integral \int_a^bf(x)\,\mathrm dx

  • uneigentlich an c \in (a,b), so bezeichnet man den Grenzwert
    \lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\left(\int_a^{c-\epsilon}f(x)\,\mathrm dx+\int_{c+\epsilon}^bf(x)\,\mathrm dx\right)=\operatorname{CH}\int_a^bf(x)\,\mathrm dx
  • uneigentlich an a und/oder b, so bezeichnet man den Grenzwert
    \lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\left(\int_{a+\epsilon}^cf(x)\,\mathrm dx+\int_c^{b-\epsilon}f(x)\,\mathrm dx\right)=\operatorname{CH}\int_a^bf(x)\,\mathrm dx

als den Cauchyschen Hauptwert. Es ist auch gebräuchlich, "V.P." (aus dem Franz.: "valeur principal") oder "P.V." (aus dem Engl.: "principal value") anstatt "CH" zu schreiben.

Beispiel (CH 1/x)

Cauchyscher Hauptwert - Beispiel

Wir betrachten das bestimmte Integral \int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\,\mathrm dx.

Der Integrand ist für x = 0 (ein innerer Punkt des Integrationsbereichs ( − 1,1)) nicht definiert. Damit ist dieses Integral uneigentlich an 0.

Die Stammfunktion des Integranden \frac{1}{x} ist \ln\left|x\right| (siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen).

\Rightarrow \int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\,\mathrm dx = \int_{-1}^{0} \frac{1}{x}\,\mathrm dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\mathrm dx = \left[ \ln\left|x\right| \right]_{x=-1}^0 + \left[ \ln\left|x\right| \right]_{x=0}^{1}
{} = \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\ln\left|x\right| - \ln\left|-1\right| + \ln\left|1\right| - \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\ln\left|x\right| = -\infty - \left(-\infty\right)

Mit dieser Methode kann dem Integral also kein eindeutiger Wert zugeordnet werden, der Cauchysche Hauptwert beträgt jedoch 0:

\operatorname{CH}\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,\mathrm dx=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}} \left(\int_{-1}^{0-\epsilon} \frac{1}{x}\,\mathrm dx + \int_{0+\epsilon}^1 \frac{1}{x}\,\mathrm dx\right)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}}(\ln(\epsilon)-\ln(\epsilon))=0

Der Cauchy-Hauptwert stellt somit eine Erweiterung des Integralbegriffs dar, da das Integral weder als Riemannintegral, noch als Lebesgue-Integral existiert.

Wenn f(x) auf der reellen Achse stetig und nur auf einem beschränkten Intervall von Null verschieden ist, existiert also insbesondere der Ausdruck \operatorname{CH}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{f(x)}{x}\,\mathrm dx.

Das heißt, dass \operatorname{CH}\frac{1}{x} wie die Dirac-Funktion δ(x) als Verallgemeinerte Funktion (Distribution) definiert werden kann.

Substitution i.a. nicht erlaubt

Der Hauptwert eines Integrals bleibt jedoch im allgemeinen nicht unter Substitution invariant. Wenn man etwa die Funktion \varphi durch \varphi(x)= x^3 für x\le 0 und \varphi(x)= x^2 für x\ge 0 definiert, so gilt zwar nach der Substitutionsregel

\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} \frac 1t\, \mathrm dt = \int_a^b \frac{1}{\varphi(x)}\varphi'(x) \,\mathrm dx

wann immer 0&amp;amp;lt;a\le b oder a\le b&amp;amp;lt;0 gilt. Für a < 0 < b ist jedoch der Hauptwert des einen Integrals eine endliche Zahl, der Hauptwert des zweiten Integrals ist aber -\infty:

\operatorname{CH} \int_{a^3}^{b^2} \frac 1t \,\mathrm dt = \ln\biggl|\frac{b^2}{a^3} \biggr|
\operatorname{CH} \int_a^b \frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)}\,\mathrm dx = \lim_{\varepsilon\to 0+} \biggl(\int_a^{-\varepsilon} \frac{3x^2}{x^3} \,\mathrm dx + \int_{\varepsilon}^b \frac{2x}{x^2}\,\mathrm dx \biggr) = \lim_{\varepsilon\to 0+} \biggl(\ln\biggl|\frac{b^2}{a^3} \biggr| + \ln \varepsilon \biggr)=-\infty

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