Leray-Schauder-Alternative

Die Leray-Schauder-Alternative ist eine mathematische Aussage aus dem Bereich der nichtlinearen Funktionalanalysis. Sie wurde von den Mathematikern Jean Leray und Juliusz Schauder bewiesen und nach ihnen benannt. Die Leray-Schauder-Alternative gibt eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines Fixpunktes. Die zentrale Bedingung der Aussage trägt einen eigenständigen Namen und wird Leray-Schauder-Randbedingung genannt. Der Satz hat zahlreiche Korollare, die schon vor Entdeckung der Leray-Schauder-Alternative bekannt waren und eigenständige Bedeutung haben.

Leray-Schauder-Randbedingung

Sei X ein normierter Raum. Die stetige Abbildung $f \colon X \to X$ erfüllt die Leray-Schauder-Randbedingung, falls ein r > 0 existiert, so dass aus $\|x\| = r$ die Ungleichheit $f(x) \neq \lambda x$ für alle λ > 1 folgt.

Leray-Schauder-Alternative

Sei X ein normierter Raum und $f \colon X \to X$ eine kompakte Abbildung, die der Leray-Schauder-Randbedingung genügt, dann hat f mindestens einen Fixpunkt.

Die Aussage trägt die Bezeichnung Alternative, weil entweder die Gleichung f(x) = λx für ein λ > 1 oder die Gleichung f(x) = x eine Lösung hat. Jedoch bietet der Satz keine notwendigen Bedingungen, daher können für bestimmte f auch beide Gleichungen erfüllt sein. Das zentrale Hilfsmittel für den Beweis des Satzes ist der Leray-Schauder-Abbildungsgrad.

Spezialfälle

In diesem Abschnitt werden hinreichende Bedingungen für Fixpunkte aufgeführt, die von Altman, Krasnoselskii und anderen bewiesen wurden und als Spezialfälle der Leray-Schauder-Alternative verstanden werden können. Im Folgenden sei X normierter Raum, $f \colon X \to X$ eine stetige Funktion und $B_r = \{x : \|x\| < r\} \subset X$ ein Ball mit Radius r.

Satz von Altman

Sei $x \in \partial B_r$ und gelte

$\|x - f(x)\|^2 \geq \|f(x)\|^2 + \|x\|^2,$

dann hat f mindestens einen Fixpunkt.

Diese Aussage wurde 1957 von Altman bewiesen.

Satz von Petryshyn

Sei $x \in \partial B_r$ und gelte

$\|x - f(x)\| \geq \|f(x)\|,$

dann hat f mindestens einen Fixpunkt.

Diese Aussage wurde 1963 von Volodymyr Petryshyn bewiesen.

Satz von Krasnoselskii

Sei X ein Prähilbertraum, $x \in \partial B_r$ und gelte

$\langle f(x), x \rangle \leq \|x\|^2,$

dann hat f mindestens einen Fixpunkt.

Diese Aussage wurde von Mark Krasnosel'skii im Jahr 1953 gezeigt. Sie kann als Spezialfall der Aussage von Altman für Prähilberträume verstanden werden.

Satz von Rothe

Sei $x \in \partial B_r$ und gelte

$\|f(x)\| \leq \|x\|,$

dann hat f mindestens einen Fixpunkt.

Diese Aussage wurde 1937 von Rothe bewiesen.

Quellen

• Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Seite 204.
• Robert F. Brown: A topological introduction to nonlinear analysis. Birkhäuser 2004, ISBN 0817632581, Seite 27.
• Vasile I. Istratescu: Fixed Point Theory an Introduction. Springer Science & Business 2001, ISBN 9027712247, Seite 166.