Lösung (Mathematik)

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Als Lösung bezeichnet man in der Mathematik ein Objekt, zum Beispiel eine Zahl oder Funktion, das eine gestellte Aufgabe erfüllt.

Beispiel

Als Lösung einer Gleichung f(x) = g(x) in einer Unbekannten x bezeichnet man in der Mathematik jedes Objekt c, welche die Gleichung erfüllt („löst“), wenn man sie anstelle der Variable x in die Gleichung einsetzt. Gibt es keine Lösung, wird die entsprechende Gleichung auch als unlösbar bezeichnet.

Je nach Art der Gleichung kann die Variable x – und damit auch das mathematische Objekt c – für eine Zahl, einen Vektor, eine Funktion oder auch für ein anderes mathematisches Objekt stehen.

Analoge Sprechweisen gelten unter anderem für Gleichungen in mehreren Unbekannten und für Ungleichungen.

Formale Beschreibung

Formal kann die Situation mithilfe der Prädikatenlogik folgendermaßen beschrieben werden:

Ist ein Term der Form $f=g\$ mit zwei Funktionstermen $f\$ und $g\$ oder ein Relationsterm $R\$ gegeben, in dem die Variablen $x_1, ... , x_i\$ (mit $\ i \in N$), frei vorkommen, so werden $i\$-Tupel von Konstanten $c_1, ..., c_i\$ genau dann Lösungen der Gleichung oder der Relation genannt, wenn diese Konstanten die Gleichung „erfüllen“, das heißt, dass durch Einsetzen der Konstanten $c_1, ..., c_i\$ überall dort, wo in dem Term die Variablen $x_1, ... , x_i\$ frei vorkommen, ein korrekter („wahrer“) Satz entsteht.

Spezielle Lösungen

Je nach Art des Problems haben Lösungen oft spezielle Namen:

• Nullstelle, bei einer Gleichung der Form f(x) = 0
• Fixpunkt, bei einer Gleichung der Form f(x) = x
• optimale Lösung, insbesondere als extremale Lösung bei Gleichungen der Form f(x) = max{f(t)} oder f(x) = min{f(t)}.

Neben der exakten Lösung, die sich in geschlossener Form als Gleichung notieren lässt, gibt es Lösungen, die nur auf numerischem Weg berechnet werden können, diese bezeichnet man dann als Näherungslösungen.

Siehe auch

• Lösen von Gleichungen