Charakteristische Funktionen

Charakteristische Funktionen

Die charakteristischen Funktionen (auch charakteristische Potentialformen genannt) bezeichnen in der Thermodynamik die totalen Differentiale und damit die Änderungen der thermodynamischen Potentiale: Innere Energie U, Enthalpie H, Freie Energie F, Freie Enthalpie G sowie Großkanonisches Potential Ω.

Die wichtigste charakteristische Funktion ist die aus dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik folgende Fundamentalgleichung

\mathrm dU = T dS - p dV + \mu {d}N. \!

Die (kursiv geschriebenen) Differentiale auf der rechten Seite sind allesamt extensiv und haben die bekannte Bedeutung, z. B. ist S die Entropie. Das (nicht-kursiv geschriebene) Differential auf der linken Seite ist ein sog. totales Differential, verschwindet also bei Integration über einen geschlossenen Weg.

Aus der Definition der Enthalpie H

H = U + pV \!

folgt wegen  d(pV) = p dV + V dp \!:

\mathrm dH = \mathrm dU + p dV + V dp, \!

und mit der Fundamentalgleichung erhält man

\mathrm dH = T dS - p dV + \mu {d}N + p dV + V dp \!

und damit die charakteristische Funktion:

\mathrm dH = T dS + V dp + \mu {d}N. \!

Hier ist das zweite Differential auf der rechten Seite intensiv. Das Differential auf der linken Seite ist erneut total.

Aus der Definition der Freien Enthalpie G

G = H - TS \!

folgt ferner

\mathrm dG = \mathrm dH - TdS - S dT, \!

und damit die charakteristische Funktion

\mathrm dG = - S dT + V dp + \mu {d}N. \!


Zuletzt noch die Definitionen der Freien Energie F und des sog. Großkanonischen Potentials Ω:

F = U - TS \! und
\Omega =F-\mu N\,.

Es folgen entsprechend

\mathrm dF = -S dT - p dV + \mu {d}N \! und
\mathrm d\Omega= -S{d}T - p{d}V- N{d}\mu\,.

Guggenheim-Schema

Guggenheim-Quadrat

Zum praktischen Arbeiten kann man das sogenannte Guggenheim-Quadrat benutzen. Hieraus erhält man alle oben genannten charakteristischen Funktionen bis auf die des Großkanonischen Potentials, welche aber sehr ähnlich der der Freien Energie ist.

Man findet die Relation indem man das totale Differential aus der Mitte einer der vier Seiten des Schemas entnimmt und dann aus den gegenüberliegenden Ecken sowie den zwei benachbarten Feldern die rechte Seite abliest. Am Ende muss man stets den Summanden µdN hinzufügen.

Zum Beispiel entnimmt man U aus der oberen Seite, woraus das totale Differential dU der linken Seite der Gleichung folgt. Schräg gegenüber liegt dann beispielsweise T und von diesem wiederum diagonal gegenüber S, was zum Ausdruck TdS führt. Analog erhält man den Summanden -pdV mit der Besonderheit, dass wenn der erste Teil des Summands auf der linken Seite des Quadrats liegt, ein Minus vorgestellt wird (angedeutet durch das "-" vor dem H). Es ergibt sich damit wie oben erwähnt dU=TdS-pdV.

Merksprüche für das Quadrat finden sich unter: Guggenheim-Quadrat#Merksprüche

Siehe auch


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Funktionen — In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Eingangsgröße, Funktionsargument, unabhängige Variable, x Wert) ein Element der anderen Menge (Ausgangsgröße, Funktionswert …   Deutsch Wikipedia

  • Charakteristische Funktion (Physik) — Die charakteristischen Funktionen (auch charakteristische Potentialformen genannt) bezeichnen in der Thermodynamik die totalen Differentiale und damit die Änderungen der thermodynamischen Potentiale: Innere Energie U, Enthalpie H, Freie Energie F …   Deutsch Wikipedia

  • Charakteristische Funktion (Stochastik) — In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die charakteristische Funktion einer reellwertigen Zufallsvariablen X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Σ,P) für folgendermaßen definiert: Dabei bezeichnet den …   Deutsch Wikipedia

  • Charakteristische Funktion (Mathematik) — zweidimensionale Indikatorfunktion einer Untermenge eines Quadrates Die charakteristische Funktion (auch Indikatorfunktion genannt) einer Teilmenge bezeichnet in der Mathematik diejenige Funktion von X auf …   Deutsch Wikipedia

  • charakteristische Funktion — charakterịstische Funktion   [k ],    1) Mathematik: die einer Menge M zugeordnete Funktion χM (x ), die den Wert 1 für genau diejenigen Argumente x annimmt, die Elemente von M sind, andernfalls den Wert 0 hat.    2) …   Universal-Lexikon

  • Potenzmenge — Die Potenzmenge von {x, y, z}, dargestellt als Hasse Diagramm. Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge. Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem, das heißt, eine Menge, deren… …   Deutsch Wikipedia

  • Funktion und Begriff — ist neben Über Sinn und Bedeutung und Über Begriff und Gegenstand einer der drei kurz hintereinander erschienen Aufsätze von Gottlob Frege, in denen er grundlegende Begriffe seiner Logik und Sprachphilosophie erläutert. Funktion und Begriff… …   Deutsch Wikipedia

  • Guggenheim-Quadrat — Das Guggenheim Quadrat oder Guggenheim Schema ist ein Hilfsmittel, um einige einfache, aber grundlegende Beziehungen der Thermodynamik aus dem Gedächtnis heraus aufzustellen. Sie lassen sich sowohl auf die Maxwell Beziehungen als auch auf die… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Cantor — Der Satz von Cantor besagt, dass eine Menge weniger mächtig als ihre Potenzmenge (der Menge aller Teilmengen) ist, dass also gilt. Er stammt vom Mathematiker Georg Cantor und ist eine Verallgemeinerung von Cantors zweitem Diagonalargument. Der… …   Deutsch Wikipedia

  • Kooperative Spieltheorie — Die kooperative Spieltheorie ist ein Teilgebiet der mathematischen Spieltheorie, bei dem im Gegensatz zur nichtkooperativen Spieltheorie den Spielern keine Aktionen oder Strategien zur Verfügung stehen, mit denen sie vorteilhafte Zustände… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”