Charakteristische Funktion (Stochastik)

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die charakteristische Funktion $\varphi_X\colon\R\to\C$ einer reellwertigen Zufallsvariablen X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Σ,P) für $t \in \R$ folgendermaßen definiert:

$\varphi_{X}(t):=\operatorname{E}\left(e^{\mathrm{i}tX}\right)=\int_{\Omega}e^{\mathrm{i}tX}\,\mathrm{d}P\,.$

Dabei bezeichnet $\operatorname{E}$ den Erwartungswert. Man beachte, dass das Integral wegen $\left|e^{\mathrm{i}tx} \right| = 1$ immer existiert.

Besitzt X endliche Momente beliebiger Ordnung, so kann man die Exponentialfunktion als Potenzreihe darstellen und erhält die Reihendarstellung der charakteristischen Funktion mit den Momenten $\operatorname{E}\left(X^{n}\right)$:

$\varphi_{X}(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\mathrm{i}t)^{n}}{n!}\operatorname{E}\left(X^{n}\right)=1+\mathrm{i}t\operatorname{E}\left(X\right)-\frac{t^{2}}{2}\operatorname{E}\left(X^{2}\right)-\frac{\mathrm{i}t^{3}}{6}\operatorname{E}\left(X^{3}\right)+\ldots\,.$

Beschreibung

Die charakteristische Funktion ist im Wesentlichen die inverse Fourier-Transformierte der Verteilung von X. Weiterhin ist $\varphi_X\left(-\mathrm{i}t\right)$ die momenterzeugende Funktion von X.

Ist X eine reelle Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion F, dann gilt

$\varphi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{\mathrm{i}tx} \mathrm{d}F(x).$

Daraus ergeben sich die beiden folgenden wichtigen Spezialfälle:

• Ist die Verteilungsfunktion F absolut stetig mit der Dichtefunktion f, dann ist

$\varphi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\, e^{\mathrm{i}tx}\,\mathrm{d}x\,.$

• Ist F diskret mit Sprungpunkten in $\{x_1, x_2, \ldots\}$, dann gilt

$\varphi_X(t) = \sum_{k=1}^{\infty} e^{\mathrm{i}tx_k}P(X=x_{k})\,.$

Eigenschaften

Für eine charakteristische Funktion φ gilt für jede reelle Zahl $t\in\R$:

Beschränktheit

$|\varphi_X(t)|\leq\varphi_X(0)=1\,.$

Lineare Transformation

φ_{aX + b}(t) = e^itbφ_X(at)   für alle reellen $a,b\in\R\,.$

Umkehrfunktion

$f_{X}(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-\mathrm{i}tx}\varphi_{X}(t)\,\mathrm{d}t\,.$

Momenterzeugung

$\operatorname{E}(X^k)=\frac{\varphi_X^{(k)}(0)}{\mathrm{i}^{k}}$   für alle natürlichen $k\in\N$, falls $\operatorname{E}(|X|^k)<\infty$.

Insbesondere ergeben sich die Spezialfälle

$\operatorname{E}(X)=\frac{\varphi_X'(0)}{\mathrm i}\,,$

$\operatorname{E}(X^2)=-\varphi_X''(0)\,.$

Wenn für eine natürliche Zahl $n\in\N$ der Erwartungswert $\operatorname{E}(|X|^n)$ endlich ist, dann ist φ_X n-mal stetig differenzierbar und in eine Taylor-Reihe um 0 entwickelbar:

$\varphi_X(t) = \sum\limits_{k=0}^n\frac{\varphi_X^{(k)}(0)}{k!}t^k+R_{n+1}(t) = \sum\limits_{k=0}^n\frac{(\mathrm{i}t)^k}{k!}\operatorname{E}(X^k)+R_{n+1}(t)\,.$

Ein wichtiger Spezialfall ist die Entwicklung einer Zufallsvariablen X mit $\operatorname{E}(X)=0$ und $\operatorname{Var}(X)=1$:

$\varphi_X(t) = 1-\frac{1}{2}t^2+R_3(t)$   mit   $\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{R_3(t)}{t^2}=0\,.$

Definitheit

Jede charakteristische Funktion φ ist positiv semidefinit, das heißt es ist für beliebige reelle Zahlen $t_1,t_2, \ldots, t_n$ und beliebige komplexe Zahlen $z_1,z_2,\ldots,z_n$

$\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \varphi(t_i-t_k) \; z_i \; \bar{z_k} \ge 0.$

Umgekehrt ist jede positiv semidefinite und gleichmäßig stetige Funktion $\varphi\colon\R\to\C$ mit φ(0) = 1 eine charakteristische Funktion (Satz von Bochner).

Faltungsformel für Dichten

Bei unabhängigen Zufallsvariablen X₁ und X₂ gilt für die charakteristische Funktion der Summe Y = X₁ + X₂:

$\varphi_{Y}(t)=\varphi_{X_{1}}(t)\,\varphi_{X_{2}}(t)\,.$

Dies folgt daraus, dass bei der Fouriertransformation aus der Faltung der Wahrscheinlichkeitsdichten

$f_{Y}(y)=\int_{\R}f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(y-x_{1})\mathrm{d}x_{1}=\int_{\R}f_{X_{1}}(y-x_{2})f_{X_{2}}(x_{2})\mathrm{d}x_{2}=f_{X_{1}}(x_{1})* f_{X_{2}}(x_{2})$

ein Produkt der charakteristischen Funktionen wird.

Eindeutigkeitssatz

Es gilt der folgende Eindeutigkeitssatz: Wenn X, Y Zufallsvariablen sind und φ_X(t) = φ_Y(t) für alle $t\in\R$ gilt, dann ist $X\overset{d}{=}Y$, d. h. X und Y haben die gleiche Verteilungsfunktion. Folglich kann man damit die Faltung einiger Verteilungen leicht bestimmen.

Aus dem Eindeutigkeitssatz lässt sich der Stetigkeitssatz von Lévy-Cramér folgern: Wenn $(X_n)_{n\in\N}$ eine Folge von Zufallsvariablen ist, dann gilt $X_n\stackrel{d}{\rightarrow}X$ (Konvergenz in Verteilung) genau dann, wenn $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\varphi_{X_n}(t)=\varphi_X(t)$ für alle $t\in\R$ gilt. Diese Eigenschaft kann bei zentralen Grenzwertsätzen ausgenutzt werden.

Beispiele

diskrete Verteilungen:

• Ist X∼B(n,p) binomialverteilt, dann ist $\varphi_X(t)=\left(pe^{\mathrm{i}t}+1-p\right)^n$.
• Ist X∼P(λ) Poisson-verteilt, dann ist $\varphi_X(t)=e^{\lambda\left(e^{\mathrm{i}t}-1\right)}$.
• Ist X∼NB(r,p) negativ binomialverteilt, dann ist $\varphi_X(t)= \left(\frac{1-pe^{\mathrm{i}t}}{1-p}\right)^{-r}$.

absolutstetige Verteilungen:

• Ist X∼N(0,1) standardnormalverteilt, dann ist $\varphi_X(t)=e^{-\frac{t^2}{2}}$.
• Ist X∼N(μ,σ²) normalverteilt, dann ist $\varphi_X(t)=e^{\mathrm{i}t\mu}e^{-\frac{\sigma^2t^2}{2}}$.
• Ist X∼U(a,b) gleichverteilt, dann ist $\varphi_X(t)= \frac{e^{\mathrm{i}bt}-e^{\mathrm{i}at}}{\mathrm{i}(b-a)t}$.

• Ist $X\sim \;G(p,b)$ gammaverteilt, dann ist $\varphi_X(t)=\left(\frac{b}{b-\mathrm{i}t}\right)^p$.
• Ist $X\sim \;C(0,1)$ Standard-Cauchy-verteilt, dann ist φ_X(t) = e ^{− | t |} .

Als Folgerung ergibt sich mit obigem Eindeutigkeitssatz die Reproduktivität dieser Verteilungen.

Literatur

• Eugen Lukacs: Characteristic functions. Griffin, London 1960 (2., erweiterte Auflage 1970), ISBN 0-85264-170-2