- Absolute Galoisgruppe
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Die absolute Galoisgruppe GK eines Körpers K ist die Galoisgruppe, welche zum separablen Abschluss Ksep / K gehört. Sie ist eindeutig bis auf Isomorphie. Im Allgemeinen ist die Körpererweiterung Ksep / K von unendlichem Grad, weshalb der Hauptsatz der Galoistheorie als solcher nicht mehr anwendbar ist. Das Studium von GK verspricht Information über sämtliche endlichen galoisschen Körpererweiterungen L / K, insbesondere Hinweise zur Lösung des Umkehrproblems der Galoistheorie.
Beispiele
- Für einen perfekten Körper K ist der separable Abschluss gleich dem algebraischen Abschluss, also
.
- Wegen
ist
, wobei c die komplexe Konjugation bezeichnet.
- Für
wurde bisher keine explizite Charakterisierung von GK gefunden. Man erhofft sich Aussagen aus dem Satz von Belyi, nach dem GK treu auf bestimmten Graphen, den sogenannten dessins d' enfants, operiert.
- Wenn
der Körper mit q Elementen ist, gilt
, wobei auf der rechten Seite der projektive Limes von
, der sogenannte Prüferring, steht.
- Wegen
Literatur
- Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag.
- Für einen perfekten Körper K ist der separable Abschluss gleich dem algebraischen Abschluss, also
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