Absolute Galoisgruppe

Die absolute Galoisgruppe G_K eines Körpers K ist die Galoisgruppe, welche zum separablen Abschluss K_sep / K gehört. Sie ist eindeutig bis auf Isomorphie. Im Allgemeinen ist die Körpererweiterung K_sep / K von unendlichem Grad, weshalb der Hauptsatz der Galoistheorie als solcher nicht mehr anwendbar ist. Das Studium von G_K verspricht Information über sämtliche endlichen galoisschen Körpererweiterungen L / K, insbesondere Hinweise zur Lösung des Umkehrproblems der Galoistheorie.

Beispiele

• Für einen perfekten Körper K ist der separable Abschluss gleich dem algebraischen Abschluss, also $K_{sep}=\overline{K}$.
  • Wegen $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{C}$ ist $G_{\mathbb{R}}=\{id,c\}$, wobei c die komplexe Konjugation bezeichnet.
  • Für $K=\mathbb{Q}$ wurde bisher keine explizite Charakterisierung von G_K gefunden. Man erhofft sich Aussagen aus dem Satz von Belyi, nach dem G_K treu auf bestimmten Graphen, den sogenannten dessins d' enfants, operiert.
  • Wenn $\mathbb{F}_q$ der Körper mit q Elementen ist, gilt $G_{\mathbb{F}_q}=\lim_{\longleftarrow} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=: \hat{\mathbb{Z} }$, wobei auf der rechten Seite der projektive Limes von $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}~(n \in \mathbb{N})$, der sogenannte Prüferring, steht.

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag.