Pisot-Zahl

Eine Pisot-Zahl oder Pisot–Vijayaraghavan-Zahl, benannt nach Charles Pisot (1910–1984) und Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902–1955), ist eine ganze algebraische Zahl α > 1, für die gilt, dass ihre Konjugierten α₂, …, α_d ohne α selbst (also die anderen Wurzeln des Minimalpolynoms von α) sämtlich innerhalb des Einheitskreises liegen: $\rho = \max\{|\alpha_2|, \ldots, |\alpha_d|\} < 1$. Mit „=“ statt „<“, also $\max\{|\alpha_2|, \ldots, |\alpha_d|\} = 1$, erhält man die Definition einer Salem-Zahl, benannt nach Raphaël Salem. Traditionell wird die Menge der Pisot-Zahlen mit S und die Menge der Salem-Zahlen mit T bezeichnet.

Eigenschaften

Die Potenzen α^k einer Pisot-Zahl α liegen exponentiell nah an ganzen Zahlen:

$\min\bigl\{|\alpha^k - z|\,\big|\,z\in\mathbb{Z}\bigr\} \le (d-1) \rho^k$

Adriano M. Garsia wies 1962 nach, dass die Menge der reellen Zahlen $|\varepsilon_n\,\alpha^n + \varepsilon_{n-1}\,\alpha^{n-1} + \ldots + \varepsilon_1\,\alpha + \varepsilon_0|$ mit n = 0, 1, 2, … und $\varepsilon_0, \ldots, \varepsilon_n \in \{-1, 0, +1\}$ diskret ist. Es ist ein ungelöstes Problem, ob diese Eigenschaft auch ein α > 1, das keine Pisot-Zahl ist, haben kann.

Raphaël Salem zeigte 1944 mit fourieranalytischen Methoden, dass die Menge der Pisot-Zahlen eine abgeschlossene Teilmenge der reellen Zahlen ist.

Beispiele

Jede ganze Zahl größer als 1 ist eine Pisot-Zahl. Weitere Beispiele von Pisot-Zahlen sind die positiven Lösungen β_n der algebraischen Gleichungen

$x^{n}-x^{n-1}-x^{n-2}-\dots-1 = 0,$

für n = 2, 3, …, eine Folge mit $\beta_n \to 2$. Insbesondere ist die Goldene Zahl

Φ = β₂ = 1,61803 39887 49894 84820 …^[1]

eine Pisot-Zahl. Sie ist zudem der kleinste Häufungspunkt in der Menge der Pisot-Zahlen (Dufresnoy und Pisot 1955). Die beiden kleinsten Pisot-Zahlen sind

θ₁ = 1,32471 79572 44746 02596 …,^[2]

die reelle Lösung von x³ − x − 1 = 0, und

θ₂ = 1,38027 75690 97614 11567 …,^[3]

die positive reelle Lösung von x⁴ − x³ − 1 = 0.

Anwendungen

Anwendungen von Pisot-Zahlen finden sich in der geometrischen Maßtheorie, im Zusammenhang mit Bernoulli-Faltungen, in der Dimensionstheorie und der Graphentheorie bei der Konstruktion von Pisot-Graphen.

Literatur

• Charles Pisot: La répartition modulo 1 et les nombres algébriques, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa – Classe di Scienze 7, 1938, S. 205–248 (Dissertation; französisch)
• T. Vijayaraghavan: On the fractional parts of the powers of a number (englisch)
  • I, Journal of the London Mathematical Society 15, 1940, S. 159–160
  • II, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 37, 1941, S. 349–357
  • III, Journal of the London Mathematical Society 17, 1942, S. 137–138
  • IV, Journal of the Indian Mathematical Society 12, 1948, S. 33–39
• Raphaël Salem: A remarkable class of algebraic integers. Proof of a conjecture of Vijayaraghavan, Duke Mathematical Journal 11, 1944, S. 103–107 (englisch)
• Jacques Dufresnoy, Charles Pisot: Étude de certaines fonctions méromorphes bornées sur le cercle unité. Application à un ensemble fermé d'entiers algébriques, Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure 72, 1955, S. 69–92 (französisch)
• Raphaël Salem: Algebraic numbers and Fourier Analysis, Heath, Boston 1963 (englisch)
• Adriano M. Garsia: Arithmetic properties of Bernoulli convolutions, Transactions of the AMS 102, 1962, S. 409–432 (englisch)
• Adriano M. Garsia: Entropy and singularity of infinite convolutions, Pacific Journal of Mathematics 13, 1963, S. 1159–1169 (englisch)
• Yves Meyer: Algebraic numbers and harmonic analysis, North-Holland, Amsterdam 1972 (englisch)
• Marie-José Bertin, Annette Decomps-Guilloux, Marthe Grandet-Hugot, Martine Pathiaux-Delefosse, Jean-Pierre Schreiber: Pisot and Salem numbers, Birkhäuser, Basel 1992, ISBN 3-7643-2648-4 (englisch)^[4]
• James McKee, Chris Smith: Salem Numbers, Pisot Numbers, Mahler Measure, and Graphs (PDF-Datei), Experimental Mathematics 14, 2005, S. 211–229 (englisch)

Weblinks

• David Terr, Eric W. Weisstein: Pisot Number. In: MathWorld. (englisch)
• David Boyd: Pisot number in der Encyclopaedia of Mathematics, Springer, 2001 (englisch)
• Andrew Potter: Pisot numbers – einfache Einführung (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Folge A001622 in OEIS
2. ↑ Folge A060006 in OEIS
3. ↑ Folge A086106 in OEIS
4. ↑ siehe auch Michel Mendès-France: Book Review, Bulletin of the AMS 29, 1993, S. 274–278