- Polynomkonvexität
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Polynomkonvexität ist eine mathematische Eigenschaft von Mengen im
, die in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher betrachtet wird. Sie spielt eine Rolle bei der Approximation holomorpher Funktionen durch Polynome.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Für eine kompakte Teilmenge
heißt
die polynomkonvexe Hülle von K. Dabei ist
die Supremumsnorm auf K.
Eine Teilmenge
nennt man polynomkonvex, wenn für jede kompakte Teilmenge
auch
gilt.
Bemerkungen
Sind K und L kompakte Teilmengen des
, so ist offenbar
- Aus
folgt
.
Das rechtfertigt die Bezeichnung Hülle in Analogie zur konvexen Hülle. Diese Analogie kann man weiter treiben: Man beachte, dass die abgeschlossene konvexe Hülle einer kompakten Teilmenge
gleich der Menge aller Vektoren x ist, so dass
für alle linearen Funktionale
. In obiger Definition sind die linearen Funktionale durch Polynome ersetzt. Diese Analogie motiviert die Bezeichnungen polynomkonvexe Hülle und polynomkonvex.
Ferner zeigt diese Betrachtung, dass eine kompakte Menge
genau dann polynomkonvex ist, wenn
. Insbesondere ist eine kompakte Menge
genau dann polynomkonvex, wenn es zu jedem
ein Polynom p gibt mit
für alle
.
Beispiele
- Ist
polynomkonvex, so ist
zusammenhängend. Im Fall n = 1 gilt hiervon die Umkehrung, im Falle n > 1 gilt ist die Umkehrung falsch.
- Polyzylinder sind polynomkonvex.
- Kompakte konvexe Mengen im
sind polynomkonvex.
- Die Vereinigung zweier disjunkter konvexer Mengen im
ist polynomkonvex; für drei Mengen gilt das im Allgemeinen nicht.
ist nicht polynomkonvex.
Ein Satz von Oka
Polynomkonvexe Mengen spielen eine wichtige Rolle in der Approximation holomorpher Funktionen durch Polynome. Der eindimensionale Fall ist genau der Rungesche Approximationssatz.
Der Satz von Oka kann in folgenden Versionen wiedergegeben werden:
- Sei
eine kompakte, polynomkonvexe Menge. Dann kann jede in einer Umgebung von K definierte holomorphe Funktionen gleichmäßig auf K durch Polynome approximiert werden.
- Sei
ein polynomkonvexes Gebiet. Dann kann jede auf D definierte holomorphe Funktion kompakt-gleichmäßig durch Polynome approximiert werden.
Literatur
- Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965
- Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Mathematical Library 1973
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